Με απλά υλικά (3)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1349
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (3)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Απρ 15, 2017 10:13 am

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{[0,2]} συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(0)=2}. Η γραφική παράσταση της παραγώγου της φαίνεται στο σχήμα .
Τα εμβαδά των χωρίων \displaystyle{{{\Omega }_{1}}}, \displaystyle{{{\Omega }_{2}}} είναι \displaystyle{2,1} τετραγωνικές μονάδες , αντίστοιχα .
Β1. Να μελετήσετε την \displaystyle{f}ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .
Β2. Να μελετήσετε την \displaystyle{f}ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
Β3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο στη \displaystyle{{{C}_{f}}}στο οποίο η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στην ευθεία
\displaystyle{(\delta )} με εξίσωση \displaystyle{2y=x+2017}.
Β4. Αν \displaystyle{m\in [2,4]} να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \displaystyle{f(x)=m}
Συνημμένα
Area.png
Area.png (4.92 KiB) Προβλήθηκε 1031 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1456
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Με απλά υλικά (3)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Απρ 15, 2017 12:01 pm

exdx έγραψε:Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{[0,2]} συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(0)=2}. Η γραφική παράσταση της παραγώγου της φαίνεται στο σχήμα .
Τα εμβαδά των χωρίων \displaystyle{{{\Omega }_{1}}}, \displaystyle{{{\Omega }_{2}}} είναι \displaystyle{2,1} τετραγωνικές μονάδες , αντίστοιχα .
Β1. Να μελετήσετε την \displaystyle{f}ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .
Β2. Να μελετήσετε την \displaystyle{f}ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
Β3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο στη \displaystyle{{{C}_{f}}}στο οποίο η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στην ευθεία
\displaystyle{(\delta )} με εξίσωση \displaystyle{2y=x+2017}.
Β4. Αν \displaystyle{m\in [2,4]} να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \displaystyle{f(x)=m}
...με τα ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλη την παρέα, μιά αντιμετώπιση...

Β1. Σύμφωνα με το σχήμα {f}'(x)>0,\,\,\,x\in (0,\,\,1),\,\,\,{f}'(x)<0,\,\,\,x\in (1,\,\,2) επομένως η \displaystyle{f} είναι γνήσια αύξουσα στο

διάστημα [0,\,1] και γνήσια φθίνουσα στο διάστημα [1,\,2] επομένως παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f(0)=2τοπικό μέγιστο το f(1) και τοπικό ελάχιστο το f(2)

Β2. Επειδή η {f}' σύμφωνα με το σχήμα είναι γνήσια φθίνουσα στο [0,\,2] η \displaystyle{f} είναι κοίλη στο διάστημα [0,\,2], άρα δεν έχει σημεία καμπής.

Β3. Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει {{x}_{0}}\in (0,\,2) που να ισχύει {f}'({{x}_{0}})=\frac{1}{2}Από υπόθεση έχουμε ότι

\int\limits_{0}^{1}{{f}'(x)dx}=2,\,\,\,-\int\limits_{1}^{2}{{f}'(x)dx}=1 σύμφωνα με το σχήμα επομένως

\left[ f(x) \right]_{0}^{1}=2,\,\,\,-\left[ f(x) \right]_{1}^{2}=1 ή f(1)-f(0)=2,\,\,\,-(f(2)-f(1))=1 άρα αφού

\displaystyle{f(0)=2} είναι f(1)=4 και f(2)=3 οπότε σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν {{x}_{1}}\in (0,\,1),\,\,{{x}_{2}}\in (1,\,\,2) με

{f}'({{x}_{1}})=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=2,\,\,{f}'({{x}_{2}})=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=-1 και επειδή -1<\frac{1}{2}<2

σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών για την συνεχή \displaystyle{f} υπάρχει {{x}_{0}}\in (0,\,2) που να ισχύει {f}'({{x}_{0}})=\frac{1}{2}

...η συνέχεια της..

B4. Τώρα επειδή η \displaystyle{f} είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα [0,\,1] και γνήσια φθίνουσα στο διάστημα [1,\,2]

θα είναι f([0,\,1])=[f(0),\,f(1)],\,\,f([1,\,2])=[f(2),\,f(1)] ή f([0,\,1])=[2,\,\,4],\,\,f([1,\,2])=[3,\,4] έτσι

αν m=2έχει μοναδική την x=0

αν 2<m<3έχει μοναδική την {{x}_{1}}\in (0,\,1)

αν 3<m<4έχει δύο μία {{x}_{1}}\in (0,\,1) και μία {{x}_{2}}\in (1,\,2) και τέλος

αν m=4έχει μοναδική την x=1

Φιλικάκαι Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3413
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (3)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Απρ 15, 2017 1:21 pm

Μιας και με πρόλαβε ο Βασίλης στη λύση θα αρκεστώ να πω πως η άσκηση είναι ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΩΡΑΙΑ και να ευχαριστήσω το Γιώργη που τη μοιράστηκε ...

Χρόνια πολλά , καλή Ανάσταση και καλές γιορτές!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
kfd
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Με απλά υλικά (3)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Σάβ Απρ 15, 2017 11:03 pm

Στην απάντηση του Β1 νομίζω πρέπει να αναφερθούν και οι τιμές των ακροτάτωνf\left ( 1 \right ),f\left ( 2 \right ), καθώς και ότι τo f\left ( 1 \right ) είναι ολικό μέγιστο, ενώ το f\left ( 0 \right ) είναι ολικό ελάχιστο.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1582
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Με απλά υλικά (3)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Απρ 24, 2017 7:41 pm

Γιώργο επίσης θα ήθελα να κάνω μια παρατήρηση σε αυτό το πολύ ωραίο θέμα. Επειδή μια άσκηση δίνει τις αληθινές της μάχες με τους μαθητές και απο εκεί φαίνεται η δύναμη της, σήμερα που την δοκίμασα μου δόθηκε λύση ότι \displaystyle{f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{2}} χρησιμοποιώντας το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών. Δηλαδή θεωρήθηκε ότι το σύστημα αξόνων είναι ορθοκανονικό , μάλλον αναπόφευκτα πρέπει να γίνει αυτή η θεώρηση και να δοθεί αυτή η πληροφορία ίσως με κάποιο πλέγμα.


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1349
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (3)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Απρ 25, 2017 7:36 am

Το πλέγμα δεν μπήκε επίτηδες διότι δεν ήθελα να στηριχτεί ο λύτης στις υπόλοιπες τιμές της \displaystyle{f'} , αλλά μόνο στις τιμές των εμβαδών.
Αν κάποιος χρειάζεται το \displaystyle{f'({x_0}) = \frac{1}{2}} , θα πρέπει να το αποδείξει .


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1582
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Με απλά υλικά (3)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Απρ 25, 2017 7:45 pm

Το επιχείρημα όμως αυτό έχει κάποια βάση.
Καταγραφή.PNG
Καταγραφή.PNG (35.96 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές
Για αυτόν τον λόγο αναφέρω πιο πάνω για αν πρέπει να δοθεί η πληροφορία ορθοκανονικού συστήματος ή μη ορθοκανονικού.

Υ.Γ.: Το προφανές λάθος που παρατηρήσατε στο σχήμα παραπάνω όπου \displaystyle{x = \frac{1}{2}} αντί για το σωστό \displaystyle{y = \frac{1}{2}}, ας είναι μια μικρή παραχώρηση του φιλαλήθες και φιλοχρήστου κριτικού κοινού του :logo: .


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης