Όμορφη ανισότητα

Λάμπρος Μπαλός · #1

Βλέποντας την ανάρτηση εδώ
viewtopic.php?f=53&t=59511
θυμήθηκα μία άσκηση που μου άρεσε από βιβλίο του Χρήστου Πατήλα και θέτω μόνο ένα ερώτημα.

Να αποδείξετε ότι :

$(sinx)^{sin^{3}x}<(cosx)^{cos^{3}x}$ , για κάθε $x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ .

Μάλιστα σφίγγει περισσότερο και αυτήν :
viewtopic.php?f=6&t=54464&p=262393#p262393

Λάμπρος Μπαλός · #2

Βάζω κρυμμένη ολόκληρη της εκφώνηση. Καμιά φορά, λόγω δυσκολίας, αποθαρρύνεται ο λύτης, επιπλέον να δικαιολογήσω την τοποθέτηση της άσκησης στον συγκεκριμένο φάκελο και τέλος, να μείνει για τους μαθητές που παρακολουθούν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Βάζω κρυμμένη ολόκληρη της εκφώνηση. Καμιά φορά, λόγω δυσκολίας, αποθαρρύνεται ο λύτης, επιπλέον να δικαιολογήσω την τοποθέτηση της άσκησης στον συγκεκριμένο φάκελο και τέλος, να μείνει για τους μαθητές που παρακολουθούν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Έστω $f(x)=lnx + \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ , με $A_{f}=(0,1]$ . Να αποδείξετε ότι :

A) η είναι γνησίως αύξουσα στο .

Β) η συνάρτηση $g(x)= \frac{xlnx}{1-x^{2}}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο .

Γ) Έστω $h(x)=2lnx+ \frac{1}{x^{2}}-1$ , με $x \in (0,1]$ . Να αποδείξετε ότι :

i. η είναι γνησίως φθίνουσα στο
ii. η συνάρτηση $k(x)=\frac{lnx}{1-x^{2}}$ είναι γνησίως αύξουσα στο .

Δ) Να αποδείξετε ότι :

i. $(sinx)^{sin^{2}x} \geq (cosx)^{cos^{2}x}$ , ενώ
ii. $(sinx)^{sin^{3}x} \leq (cosx)^{cos^{3}x}$ , για κάθε $x \in [ \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2})$ .

Ε) Να αποδείξετε ότι :

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{4} < \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}tanx \cdot ln(sinx)dx < ln \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}+2} + \frac{\sqrt{2}- \sqrt{3}}{2}$ .

...και μετά την αποκάλυψη...(...λίγοι θα είναι οι μαθητές που θα παρακολοθήσουν τέτοια θέματα πιστεύω...)

Η συνάρτηση $f(x)=lnx + \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ είναι παραγωγίσιμη στο ${{A}_{f}}=(0,1)$ με

${f}'(x)=\frac{1}{x}+\frac{-2x(1+{{x}^{2}})-2x(1-{{x}^{2}})}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}=\frac{1}{x}-\frac{4x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}=$

$=\frac{1+{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-4{{x}^{2}}}{x{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}=\frac{1+{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}}{x{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}=\frac{{{({{x}^{2}}-1)}^{2}}}{x{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}>0,\,\,\,x\in (0,\,1)$

και επειδή είναι συνεχής στο ${{A}_{f}}=(0,1]$ η

είναι γνήσια αύξουσα στο ${{A}_{f}}=(0,1]$

Β) Η συνάρτηση η συνάρτηση $g(x)= \frac{xlnx}{1-x^{2}}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\Delta =(0,1)$ με

${g}'(x)=...=\frac{({{x}^{2}}+1)lnx+1-{{x}^{2}}}{{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}=\frac{(1+{{x}^{2}})f(x)}{{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}<0$ για $x\in (0,1)$ γιατί

$\frac{1+{{x}^{2}}}{{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}>0,\,\,\,x\in (0,\,1)$ και f(x)<f(1)=0

αφού από (Α)

είναι γνήσια αύξουσα στο

${{A}_{f}}=(0,1]$ επομένως η η συνάρτηση

είναι γνήσια φθίνουσα στο $\Delta =(0,1)$ .

Γ) i) Τώρα hη συνάρτηση $h(x)=2lnx+ \frac{1}{x^{2}}-1$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $\Delta =(0,1)$ με

${h}'(x)=\frac{2}{x}-\frac{2}{{{x}^{3}}}=\frac{2({{x}^{2}}-1)}{{{x}^{3}}}<0,\,\,x\in (0,\,1)$

άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1]

ii) η συνάρτηση $k(x)=\frac{lnx}{1-x^{2}}$ είναι παραγωγίσιμη στο (0,1)

με

${k}'(x)=...=\frac{2{{x}^{2}}lnx+1-{{x}^{2}}}{x{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}h(x)}{x{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}>0,\,\,\,x\in (0,\,1)$

αφού είναι $\frac{{{x}^{2}}}{x{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}>0,\,\,x\in (0,\,1)$ και λογω (i) $h(x)>h(1)=0,\,\,\,x\in (0,\,1)$

επομένως η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1)

.

Δ) i)Για $x\in [\frac{\pi }{4},\,\,\frac{\pi }{2})$ ισχύει ότι $0<\cos x\le \sin x<1$ με την ισότητα μόνο για $x=\frac{\pi }{4}$

(…θέλει απόδειξη αυτό στα σχολικά μαθηματικά…)

και λόγω της μονοτονίας της

από το προηγούμενο ερώτημα ισχύει $k(\cos x)\le k(\sin x),\,\,\,x\in (0,\,\,\frac{\pi }{4}]$ ή

$\frac{ln(\cos x)}{1-{{(\cos x)}^{2}}}\le \frac{ln(sinx)}{1-{{(sinx)}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{ln(\cos x)}{{{\sin }^{2}}x}\le \frac{ln(sinx)}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow$

${{\cos }^{2}}xln(\cos x)\le {{\sin }^{2}}xln(sinx)\Leftrightarrow ln{{(\cos x)}^{{{\cos }^{2}}x}}\le ln{{(sinx)}^{{{\sin }^{2}}x}}\Leftrightarrow$

$(sinx)^{sin^{2}x} \geq (cosx)^{cos^{2}x}$

ii) Τώρα από $0<\cos x\le \sin x<1$ στο $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ με την ισότητα μόνο για $x=\frac{\pi }{4}$

και λόγω της μονοτονίας της

στο $\Delta =(0,1)$ από (Β) θα ισχύει ότι $g(\cos x)\ge g(\sin x)$ ή

$\frac{\cos x\,ln(\cos x)}{1-{{\cos }^{2}}x}\ge \frac{\sin x\,ln(sinx)}{1-{{\sin }^{2}}x}\Leftrightarrow \frac{\cos x\,ln(\cos x)}{{{\sin }^{2}}x}\ge \frac{\sin x\,ln(sinx)}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow$

${{\cos }^{3}}xln(\cos x)\ge {{\sin }^{3}}xln(sinx)\Leftrightarrow ln{{(\cos x)}^{{{\cos }^{3}}x}}\ge ln{{(sinx)}^{{{\sin }^{3}}x}}\Leftrightarrow$ ${{(sinx)}^{si{{n}^{3}}x}}\le {{(cosx)}^{co{{s}^{3}}x}}$ , για κάθε $x \in [ \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2})$ .

...για το Ε αργότερα

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Όμορφη ανισότητα

Όμορφη ανισότητα

Re: Όμορφη ανισότητα

Re: Όμορφη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση