Όμορφη ανισότητα

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 938
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Όμορφη ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Αύγ 15, 2017 1:06 am

Βλέποντας την ανάρτηση εδώ
viewtopic.php?f=53&t=59511
θυμήθηκα μία άσκηση που μου άρεσε από βιβλίο του Χρήστου Πατήλα και θέτω μόνο ένα ερώτημα.

Να αποδείξετε ότι :

(sinx)^{sin^{3}x}<(cosx)^{cos^{3}x} , για κάθε x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}).

Μάλιστα σφίγγει περισσότερο και αυτήν :
viewtopic.php?f=6&t=54464&p=262393#p262393


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 938
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Όμορφη ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Αύγ 17, 2017 2:46 pm

Βάζω κρυμμένη ολόκληρη της εκφώνηση. Καμιά φορά, λόγω δυσκολίας, αποθαρρύνεται ο λύτης, επιπλέον να δικαιολογήσω την τοποθέτηση της άσκησης στον συγκεκριμένο φάκελο και τέλος, να μείνει για τους μαθητές που παρακολουθούν.

Έστω f(x)=lnx + \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}, με A_{f}=(0,1]. Να αποδείξετε ότι :

A) η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1].

Β) η συνάρτηση g(x)= \frac{xlnx}{1-x^{2}} είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1).

Γ) Έστω h(x)=2lnx+ \frac{1}{x^{2}}-1, με x \in (0,1]. Να αποδείξετε ότι :

i. η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1]
ii. η συνάρτηση k(x)=\frac{lnx}{1-x^{2}} είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1).

Δ) Να αποδείξετε ότι :

i. (sinx)^{sin^{2}x} \geq (cosx)^{cos^{2}x} , ενώ
ii. (sinx)^{sin^{3}x} \leq (cosx)^{cos^{3}x} , για κάθε x \in [ \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2}).

Ε) Να αποδείξετε ότι :

\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{4} < \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}tanx \cdot ln(sinx)dx < ln \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}+2} + \frac{\sqrt{2}- \sqrt{3}}{2} .


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1555
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Όμορφη ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Αύγ 18, 2017 6:57 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Βάζω κρυμμένη ολόκληρη της εκφώνηση. Καμιά φορά, λόγω δυσκολίας, αποθαρρύνεται ο λύτης, επιπλέον να δικαιολογήσω την τοποθέτηση της άσκησης στον συγκεκριμένο φάκελο και τέλος, να μείνει για τους μαθητές που παρακολουθούν.

Έστω f(x)=lnx + \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}, με A_{f}=(0,1]. Να αποδείξετε ότι :

A) η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1].

Β) η συνάρτηση g(x)= \frac{xlnx}{1-x^{2}} είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1).

Γ) Έστω h(x)=2lnx+ \frac{1}{x^{2}}-1, με x \in (0,1]. Να αποδείξετε ότι :

i. η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1]
ii. η συνάρτηση k(x)=\frac{lnx}{1-x^{2}} είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1).

Δ) Να αποδείξετε ότι :

i. (sinx)^{sin^{2}x} \geq (cosx)^{cos^{2}x} , ενώ
ii. (sinx)^{sin^{3}x} \leq (cosx)^{cos^{3}x} , για κάθε x \in [ \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2}).

Ε) Να αποδείξετε ότι :

\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{4} < \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}tanx \cdot ln(sinx)dx < ln \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}+2} + \frac{\sqrt{2}- \sqrt{3}}{2} .
...και μετά την αποκάλυψη...(...λίγοι θα είναι οι μαθητές που θα παρακολοθήσουν τέτοια θέματα πιστεύω...)

Η συνάρτηση f(x)=lnx + \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} είναι παραγωγίσιμη στο {{A}_{f}}=(0,1) με

{f}'(x)=\frac{1}{x}+\frac{-2x(1+{{x}^{2}})-2x(1-{{x}^{2}})}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}=\frac{1}{x}-\frac{4x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}=

=\frac{1+{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-4{{x}^{2}}}{x{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}=\frac{1+{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}}{x{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}=\frac{{{({{x}^{2}}-1)}^{2}}}{x{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}>0,\,\,\,x\in (0,\,1)

και επειδή είναι συνεχής στο {{A}_{f}}=(0,1] η f είναι γνήσια αύξουσα στο {{A}_{f}}=(0,1]

Β) Η συνάρτηση η συνάρτηση g(x)= \frac{xlnx}{1-x^{2}} είναι παραγωγίσιμη στο \Delta =(0,1) με

{g}'(x)=...=\frac{({{x}^{2}}+1)lnx+1-{{x}^{2}}}{{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}=\frac{(1+{{x}^{2}})f(x)}{{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}<0 για x\in (0,1) γιατί

\frac{1+{{x}^{2}}}{{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}>0,\,\,\,x\in (0,\,1) και f(x)<f(1)=0 αφού από (Α) f είναι γνήσια αύξουσα στο

{{A}_{f}}=(0,1] επομένως η η συνάρτηση g είναι γνήσια φθίνουσα στο \Delta =(0,1).

Γ) i) Τώρα hη συνάρτηση h(x)=2lnx+ \frac{1}{x^{2}}-1 είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα \Delta =(0,1) με

{h}'(x)=\frac{2}{x}-\frac{2}{{{x}^{3}}}=\frac{2({{x}^{2}}-1)}{{{x}^{3}}}<0,\,\,x\in (0,\,1)

άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1]

ii) η συνάρτηση k(x)=\frac{lnx}{1-x^{2}} είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) με

{k}'(x)=...=\frac{2{{x}^{2}}lnx+1-{{x}^{2}}}{x{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}h(x)}{x{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}>0,\,\,\,x\in (0,\,1)

αφού είναι \frac{{{x}^{2}}}{x{{(1-{{x}^{2}})}^{2}}}>0,\,\,x\in (0,\,1) και λογω (i)h(x)>h(1)=0,\,\,\,x\in (0,\,1)

επομένως η συνάρτηση k είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1).

Δ) i)Για x\in [\frac{\pi }{4},\,\,\frac{\pi }{2}) ισχύει ότι 0<\cos x\le \sin x<1με την ισότητα μόνο για x=\frac{\pi }{4}

(…θέλει απόδειξη αυτό στα σχολικά μαθηματικά…)

και λόγω της μονοτονίας της k από το προηγούμενο ερώτημα ισχύει k(\cos x)\le k(\sin x),\,\,\,x\in (0,\,\,\frac{\pi }{4}] ή

\frac{ln(\cos x)}{1-{{(\cos x)}^{2}}}\le \frac{ln(sinx)}{1-{{(sinx)}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{ln(\cos x)}{{{\sin }^{2}}x}\le \frac{ln(sinx)}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow

{{\cos }^{2}}xln(\cos x)\le {{\sin }^{2}}xln(sinx)\Leftrightarrow ln{{(\cos x)}^{{{\cos }^{2}}x}}\le ln{{(sinx)}^{{{\sin }^{2}}x}}\Leftrightarrow

(sinx)^{sin^{2}x} \geq (cosx)^{cos^{2}x}

ii) Τώρα από 0<\cos x\le \sin x<1στο [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})με την ισότητα μόνο για x=\frac{\pi }{4}

και λόγω της μονοτονίας της gστο \Delta =(0,1)από (Β) θα ισχύει ότι g(\cos x)\ge g(\sin x) ή

\frac{\cos x\,ln(\cos x)}{1-{{\cos }^{2}}x}\ge \frac{\sin x\,ln(sinx)}{1-{{\sin }^{2}}x}\Leftrightarrow \frac{\cos x\,ln(\cos x)}{{{\sin }^{2}}x}\ge \frac{\sin x\,ln(sinx)}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow

{{\cos }^{3}}xln(\cos x)\ge {{\sin }^{3}}xln(sinx)\Leftrightarrow ln{{(\cos x)}^{{{\cos }^{3}}x}}\ge ln{{(sinx)}^{{{\sin }^{3}}x}}\Leftrightarrow{{(sinx)}^{si{{n}^{3}}x}}\le {{(cosx)}^{co{{s}^{3}}x}} , για κάθε x \in [ \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2}).

...για το Ε αργότερα

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης