Με πίνακα τιμών (2)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με πίνακα τιμών (2)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Σεπ 11, 2017 8:35 pm

2. Οι συναρτήσεις \displaystyle f,gείναι παραγωγίσιμες στο \displaystyle R και η \displaystyle g είναι γνησίως αύξουσα .
Στον πίνακα δίνονται κάποιες τιμές των \displaystyle f,g και των παραγώγων τους . Έστω η συνάρτηση \displaystyle t(x)=f(g(x))-6
α) Αποδείξτε ότι υπάρχει \displaystyle a\in (1,3) ώστε \displaystyle t(a)=-5
β) Αποδείξτε ότι υπάρχει \displaystyle b\in (1,3) ώστε \displaystyle {t}'(b)=-5
γ) Έστω \displaystyle F μια αρχική της \displaystyle f. Αν \displaystyle h(x)=F(g(x)), βρείτε το \displaystyle {h}'(3)
δ) Υπολογίστε τα : i) \displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{t(x)+7}{g(x)-4} ii) \displaystyle \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-g(x)}{g(x)-4}
ε) Αν η \displaystyle G είναι αρχική της \displaystyle g με \displaystyle G(1)=1 , αποδείξτε ότι \displaystyle \int_{1}^{4}{G(x)}dx\ge 12
Συνημμένα
matrix.png
matrix.png (7.51 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Με πίνακα τιμών (2)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Σεπ 12, 2017 1:52 am

[quote=exdx post_id=289092 time=1505151356 user_id=100]
2. Οι συναρτήσεις \displaystyle f,gείναι παραγωγίσιμες στο \displaystyle R και η \displaystyle g είναι γνησίως αύξουσα .
Στον πίνακα δίνονται κάποιες τιμές των \displaystyle f,g και των παραγώγων τους . Έστω η συνάρτηση \displaystyle t(x)=f(g(x))-6
α) Αποδείξτε ότι υπάρχει \displaystyle a\in (1,3) ώστε \displaystyle t(a)=-5
β) Αποδείξτε ότι υπάρχει \displaystyle b\in (1,3) ώστε \displaystyle {t}'(b)=-5
γ) Έστω \displaystyle F μια αρχική της \displaystyle f. Αν \displaystyle h(x)=F(g(x)), βρείτε το \displaystyle {h}'(3)
δ) Υπολογίστε τα : i) \displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{t(x)+7}{g(x)-4} ii) \displaystyle \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-g(x)}{g(x)-4}
ε) Αν η \displaystyle G είναι αρχική της \displaystyle g με \displaystyle G(1)=1 , αποδείξτε ότι \displaystyle \int_{1}^{4}{G(x)}dx\ge 12
[/quote]

...για την νέα σχολική χρονιά...καλή δύναμη σε όλη την παρέα...

α) Η συνάρτηση \displaystyle t(x)=f(g(x))-6 στο [1,3] είναι συνεχής με t(1)=f(g(1))-6=f(2)-6=9-6=3 και

t(3)=f(g(3))-6=f(4)-6=-1-6=-7 και επειδή ισχύει t(1)<-5<t(3) σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. υπάρχει

\displaystyle a\in (1,3) ώστε \displaystyle t(a)=-5

β) Στο διάστημα [1,3] η \displaystyle t(x)=f(g(x))-6 είναι παραγωγίσιμη ως αποτέλεσμα πράξης μεταξύ παραγωγίσιμων,

έτσι σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει \displaystyle b\in (1,3) ώστε

{t}'(b)=\frac{t(3)-t(1)}{3-1}=\frac{f(g(3))-f(g(1))}{2}=\frac{f(4)-f(2)}{2}=\frac{-1-9}{2}=-5

γ) Είναι {F}'(x)=f(x) από υπόθεση και η \displaystyle h(x)=F(g(x)) παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων με

{h}'(x)={F}'(g(x)){g}'(x)=f(g(x){g}'(x) οπότε {h}'(3)=f(g(3){g}'(3)=f(4){g}'(3)=(-1)2=-2

δ) Είναι \underset{x\to 3}{\mathop{\lim (}}\,g(x)-4)=g(3)-4=0 και \underset{x\to 3}{\mathop{\lim (}}\,t(x)+7)=t(3)+7=0

επομένως έχουμε μορφή \frac{0}{0} και τότε

\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{t(x)+7}{g(x)-4}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{t(x)-t(3)}{x-3}}{\frac{g(x)-g(3)}{x-3}}=\frac{{t}'(3)}{{g}'(3)}=\frac{{f}'(g(3)){g}'(3)}{{g}'(3)}={f}'(4)=-1

και ακόμη \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-g(x)}{g(x)-4}=\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{g(x)-4} \right)(f(x)-g(x))=+\infty επειδή \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{g(x)-4} \right)=+\infty

αφού για x>3\Rightarrow g(x)>g(3)=4(g είναι γνήσια αύξουσα ) και \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(f(x)-g(x))=f(3)-g(3)=6

ε) Η \displaystyle G είναι παραγωγίσιμη και ισχύει {G}'(x)=g(x), σύμφωνα με την υπόθεση, και είναι γνήσια αύξουσα, άρα η

\displaystyle G είναι κυρτή και λόγω της κυρτότητας της, τα σημεία της γραφικής της παράστασης, θα είναι πάνω από κάθε εφαπτομένη

εκτός του σημείου επαφής της, Άρα και από την εφαπτομένη της στο σημείο , (1,\,G(1)) ή (1,\,1) που έχει εξίσωση

y-1={G}'(1)(x-1)\Leftrightarrow y-1=g(1)(x-1)\Leftrightarrow y-1=2(x-1)\Leftrightarrow y=2x-1 δηλαδή θα ισχύει ότι

G(x)\ge 2x-1,\,\,\,x\in R και ολοκληρώνοντας έχουμε

\int\limits_{1}^{4}{G(x)dx}>\int\limits_{1}^{4}{(2x-1)dx}=\left[ {{x}^{2}}-x \right]_{1}^{4}=(16-4)-0=12 που είναι αυτό που θέλαμε.


Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες