Κοντά στο σχολικό

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{f^{2}(x)=x^{4}+2x^{2}+1}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
α) Να αποδείξετε ότι η

διατηρεί σταθερό το πρόσημό της στο $\mathbb{R}$ .

β) Να προσδιορίσετε τους πιθανούς τύπους της

στο $\mathbb{R}$ .

Για τα ερωτήματα γ) και δ), δίνεται ότι $f(x)=x^{2}+1$ , $x\in \mathbb{R}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες $\left ( \varepsilon _{1} \right )$ και $\left ( \varepsilon _{2} \right )$ της γραφικής παράστασης της

που άγονται από το σημείο τομής των αξόνων, τις οποίες και να βρείτε.

δ) Να βρείτε το εμβαδόν

του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

και τις ευθείες $\left ( \varepsilon _{1} \right )$ και $\left ( \varepsilon _{2} \right )$ του ερωτήματος β. Στη συνέχεια, να εξετάσετε αν υπάρχει ευθεία $y=\alpha$ , $\alpha \in \mathbb{R}$ τέτοια ώστε να χωρίζει το εμβαδόν

σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

Φιλικά,
Μάριος

Σταμ. Γλάρος · #2

M.S.Vovos έγραψε: Παρ Σεπ 22, 2017 5:43 pm Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{f^{2}(x)=x^{4}+2x^{2}+1}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
α) Να αποδείξετε ότι η διατηρεί σταθερό το πρόσημό της στο $\mathbb{R}$ .

β) Να προσδιορίσετε τους πιθανούς τύπους της στο $\mathbb{R}$ .

Για τα ερωτήματα γ) και δ), δίνεται ότι $f(x)=x^{2}+1$ , $x\in \mathbb{R}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες $\left ( \varepsilon _{1} \right )$ και $\left ( \varepsilon _{2} \right )$ της γραφικής παράστασης της που άγονται από το σημείο τομής των αξόνων, τις οποίες και να βρείτε.

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ευθείες $\left ( \varepsilon _{1} \right )$ και $\left ( \varepsilon _{2} \right )$ του ερωτήματος β. Στη συνέχεια, να εξετάσετε αν υπάρχει ευθεία $y=\alpha$ , $\alpha \in \mathbb{R}$ τέτοια ώστε να χωρίζει το εμβαδόν σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

Φιλικά,
Μάριος

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
α) Είναι f^2(x) =(x^2+1)^2

. Η εξίσωση f(x)=0

, είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$ .
Συνεπώς έχουμε $f(x)\neq 0, \forall x\in \mathbb{R}$ και επειδή η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ ,
συμπεραίνουμε ότι διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$ .

β) i) Αν $f(x)<0\Rightarrow f(x)= -(x^2 +1)$ .
ii) Αν $f(x)>0\Rightarrow f(x)= x^2 +1$ .

γ)

: Κοντά στο σχολικό.png (117.25 KiB) Προβλήθηκε 1446 φορές

Έστω $(\varepsilon )$ η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο επαφής $M( x_{o} , f(x_{o})$ .
Εύκολα βρίσκουμε τον τύπο $(\varepsilon ): y = 2 x_{o} x - x^2_{o} +1$ .
Όμως η $(\varepsilon )$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Άρα $x_{o}=\pm 1$ .
Οπότε: $(\varepsilon _1): y=2x$ και $(\varepsilon _2): y= -2x$ .

δ) Είναι : $E(\Omega ) = \displaystyle 2\cdot \int_{0}^{1}\left ( x^2 +1-2x \right )dx =\dfrac{2}{3}$ .

Επίσης αν η y=a

τέμνει την $C_{f}$ στα σημεία $\Gamma ,\Delta$ ισχύει $E_1 = \left ( O\Gamma \Delta \right ) = \dfrac{1}{2}\cdot (OE)\cdot (\Gamma \Delta )= \dfrac{a^2}{2}$ , με a>0

.

Πρέπει $E_1= \dfrac{E}{2}$ $\Leftrightarrow$ $a=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ .

Άρα η ευθεία είναι η $y=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Κοντά στο σχολικό

Κοντά στο σχολικό

Re: Κοντά στο σχολικό

Μέλη σε σύνδεση