Κοντά στο σχολικό

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Κοντά στο σχολικό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Σεπ 22, 2017 5:43 pm

Έστω η συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύει:

\displaystyle{f^{2}(x)=x^{4}+2x^{2}+1}, για κάθε x\in \mathbb{R}.
α) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό το πρόσημό της στο \mathbb{R}.

β) Να προσδιορίσετε τους πιθανούς τύπους της f στο \mathbb{R}.

Για τα ερωτήματα γ) και δ), δίνεται ότι f(x)=x^{2}+1, x\in \mathbb{R}.

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες \left ( \varepsilon _{1} \right ) και \left ( \varepsilon _{2} \right ) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το σημείο τομής των αξόνων, τις οποίες και να βρείτε.

δ) Να βρείτε το εμβαδόν E του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες \left ( \varepsilon _{1} \right ) και \left ( \varepsilon _{2} \right ) του ερωτήματος β. Στη συνέχεια, να εξετάσετε αν υπάρχει ευθεία y=\alpha , \alpha \in \mathbb{R} τέτοια ώστε να χωρίζει το εμβαδόν E σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 353
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Κοντά στο σχολικό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Σεπ 25, 2017 7:51 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 5:43 pm
Έστω η συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύει:

\displaystyle{f^{2}(x)=x^{4}+2x^{2}+1}, για κάθε x\in \mathbb{R}.
α) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό το πρόσημό της στο \mathbb{R}.

β) Να προσδιορίσετε τους πιθανούς τύπους της f στο \mathbb{R}.

Για τα ερωτήματα γ) και δ), δίνεται ότι f(x)=x^{2}+1, x\in \mathbb{R}.

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες \left ( \varepsilon _{1} \right ) και \left ( \varepsilon _{2} \right ) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το σημείο τομής των αξόνων, τις οποίες και να βρείτε.

δ) Να βρείτε το εμβαδόν E του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες \left ( \varepsilon _{1} \right ) και \left ( \varepsilon _{2} \right ) του ερωτήματος β. Στη συνέχεια, να εξετάσετε αν υπάρχει ευθεία y=\alpha , \alpha \in \mathbb{R} τέτοια ώστε να χωρίζει το εμβαδόν E σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
α) Είναι f^2(x) =(x^2+1)^2 . Η εξίσωση f(x)=0, είναι αδύνατη στο \mathbb{R} .
Συνεπώς έχουμε f(x)\neq 0, \forall x\in \mathbb{R} και επειδή η f είναι συνεχής στο \mathbb{R} ,
συμπεραίνουμε ότι διατηρεί πρόσημο στο \mathbb{R} .

β) i) Αν f(x)<0\Rightarrow f(x)= -(x^2 +1) .
ii) Αν f(x)>0\Rightarrow f(x)= x^2 +1 .

γ)
Κοντά στο σχολικό.png
Κοντά στο σχολικό.png (117.25 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές
Έστω (\varepsilon ) η εφαπτομένη της C_{f} στο σημείο επαφής M( x_{o} , f(x_{o}) .
Εύκολα βρίσκουμε τον τύπο (\varepsilon ): y = 2 x_{o} x -  x^2_{o}  +1 .
Όμως η (\varepsilon ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Άρα x_{o}=\pm 1 .
Οπότε: (\varepsilon _1): y=2x και (\varepsilon _2): y= -2x .

δ) Είναι : E(\Omega ) = \displaystyle 2\cdot \int_{0}^{1}\left ( x^2 +1-2x \right )dx =\dfrac{2}{3} .

Επίσης αν η y=a τέμνει την C_{f} στα σημεία \Gamma ,\Delta ισχύει E_1 = \left ( O\Gamma \Delta \right ) = \dfrac{1}{2}\cdot (OE)\cdot (\Gamma \Delta )= \dfrac{a^2}{2}, με a>0 .

Πρέπει E_1= \dfrac{E}{2} \Leftrightarrow a=\sqrt{\dfrac{2}{3}} .

Άρα η ευθεία είναι η  y=\sqrt{\dfrac{2}{3}} .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες