Μελέτη με παράμετρο
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Μελέτη με παράμετρο
Α. Δίνεται ο θετικός αριθμός και η συνάρτηση
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
β) Να βρεθούν όλες οι ασύμπτωτες της και το σύνολο τιμών της .
γ) Για να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της
δ) Να αποδειχθεί ότι κάθε μία από τις εφαπτόμενες στα σημεία καμπής διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε .
ε) Να αποδείξετε ότι αν τότε η ευθεία με εξίσωση έχει τρία κοινά σημεία με τη
στ) Να υπολογίσετε το
Β. Υποθέτουμε ότι και ότι η ορίζεται στο διάστημα
α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση .
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της .
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των και την ευθεία με εξίσωση .
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
β) Να βρεθούν όλες οι ασύμπτωτες της και το σύνολο τιμών της .
γ) Για να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της
δ) Να αποδειχθεί ότι κάθε μία από τις εφαπτόμενες στα σημεία καμπής διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε .
ε) Να αποδείξετε ότι αν τότε η ευθεία με εξίσωση έχει τρία κοινά σημεία με τη
στ) Να υπολογίσετε το
Β. Υποθέτουμε ότι και ότι η ορίζεται στο διάστημα
α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση .
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της .
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των και την ευθεία με εξίσωση .
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: Μελέτη με παράμετρο
...Καλησπέρα γειά σου Γιώργη...ξεκινάω την λύση...exdx έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 29, 2017 10:25 pmΑ. Δίνεται ο θετικός αριθμός και η συνάρτηση
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
β) Να βρεθούν όλες οι ασύμπτωτες της και το σύνολο τιμών της .
γ) Για να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της
δ) Να αποδειχθεί ότι κάθε μία από τις εφαπτόμενες στα σημεία καμπής διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε .
ε) Να αποδείξετε ότι αν τότε η ευθεία με εξίσωση έχει τρία κοινά σημεία με τη
στ) Να υπολογίσετε το
Β. Υποθέτουμε ότι και ότι η ορίζεται στο διάστημα
α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση .
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της .
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των και την ευθεία με εξίσωση .
) Η συνάρτηση ορίζεται για κάθε και είναι παραγωγίσιμη με
.
Τώρα στην περίπτωση που είναι
Στην περίπτωση που έχουμε ότι και
για είναι οπότε γνήσια αύξουσα στο
και είναι οπότε γνήσια φθίνουσα στα
έτσι στο σημείο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το
και στο σημείο παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το
για είναι οπότε γνήσια φθίνουσα στο και είναι
οπότε γνήσια αύξουσα στα
έτσι στο σημείο παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το και στο σημείο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το
Ακόμη και
και όταν είναι και
οπότε κυρτή στα και κοίλη στα
και και όταν είναι και
οπότε κοίλη στα
και κυρτή στα
Επομένως τα σημεία και όταν είναι και τα σημεία καμπής της
β) Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες, και για είναι επειδή
και
έχει στο ασύμπτωτη τον άξονα .
Για έχει σύνολο τιμών το διάστημα και για έχει σύνολο τιμών το διάστημα
...έχει δρόμο ακόμη...τώρα
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Μελέτη με παράμετρο
Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα . Ανεβάζω προς το παρόν δύο σχήματα για το Α.γ και το Β.β.
Α. γ) Β. β) Θα επανέλθω και για τα υπόλοιπα , αν δεν προλάβει κάποιος άλλος ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Α. γ) Β. β) Θα επανέλθω και για τα υπόλοιπα , αν δεν προλάβει κάποιος άλλος ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Μελέτη με παράμετρο
Καλησπέρα και πάλι . Επανέρχομαι ...exdx έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 29, 2017 10:25 pmΑ. Δίνεται ο θετικός αριθμός και η συνάρτηση
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
β) Να βρεθούν όλες οι ασύμπτωτες της και το σύνολο τιμών της .
γ) Για να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της
δ) Να αποδειχθεί ότι κάθε μία από τις εφαπτόμενες στα σημεία καμπής διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε .
ε) Να αποδείξετε ότι αν τότε η ευθεία με εξίσωση έχει τρία κοινά σημεία με τη
στ) Να υπολογίσετε το
Β. Υποθέτουμε ότι και ότι η ορίζεται στο διάστημα
α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση .
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της .
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των και την ευθεία με εξίσωση .
δ) Η εφαπτομένη της στο σημείο καμπής είναι : (1)
Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί οικογένεια ευθειών.
Θέτοντας έχουμε μία ευθεία από την οικογένεια την και θέτοντας έχουμε την ευθεία .
Το κοινό σημείο των παραπάνω ευθειών είναι το του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν την (1).
Άρα όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το .
Η δεύτερη οικογένεια ευθειών στο σημείο καμπής είναι η . Εύκολα βρίσκουμε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται
από το .
Εργαζόμενοι με τον ίδιο τρόπο στο σημείο καμπής έχουμε την εξίσωση (2)
από την οποία προκύπτει ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το .
Τα σημεία καμπής τα βρήκε ο Βασίλης σε προηγούμενο υποερώτημα.
ε) Θεωρούμε την συνάρτηση .
Είναι .
Συνεπώς υπάρχει ώστε .
Επίσης η g παίρνει την μορφή .
Θεωρώντας τώρα έχουμε .
Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano στο διάστημα .
Άρα υπάρχει τουλάχιστον μία αρνητική ρίζα της .
Τώρα παρατηρούμε ότι η ευθεία η οποία διέρχεται από το σημείο καμπής και την αρχή των αξόνων είναι η .
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις :
i) . Τότε η έχει ακριβώς ένα σημείο τομής με την με τετμημένη
διότι επειδή όπως απέδειξε ο Βασίλης.
ii) . Στην περίπτωση αυτή η είναι κυρτή στο .
Η εφάπτεται της στο . Άρα η βρίσκεται πάνω από την .
Επομένως κάθε ευθεία της μορφής με είναι χορδή της .
Άρα τέμνει την σε ένα ακόμη σημείο εκτός από το , του οποίου η τετμημένη ανήκει στο
Άρα κάθε ευθεία με εξίσωση έχει ακριβώς ένα σημείο με την με τετμημένη στο .
Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι κάθε ευθεία με εξίσωση έχει ακριβώς ένα σημείο με την με τετμημένη στο .
Το τρίτο σημείο είναι το .
Δεν ξέρω αν η λύση αυτή είναι αποδεκτή καθότι είναι περιγραφική. Μου μοιάζει σαν γεωμετρική ερμηνεία ...
στ) Θέτω . Επειδή όταν ,
Άρα
Επίσης έχουμε : όταν . Άρα .
Επιπλέον ισχύει .
Άρα .
B) α) Για έχουμε με .
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε και 1-1. Επομένως η αντιστρέφεται.
Επίσης .
Θέτοντας έχουμε ισοδυνάμως την δευτεροβάθμια .
Αποδεκτή λύση της λόγω περιορισμών είναι η .
Άρα η αντίστροφη είναι η .
γ) Από το σχήμα του β) παραπάνω προκύπτει:
...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μελέτη με παράμετρο
Ευχαριστώ τους φίλους Βασίλη και Σταμάτη για τη διαπραγμάτευση
Υ. Γ. Το Α (ε) μπορεί να γίνει και αλγεβρικά....
Υ. Γ. Το Α (ε) μπορεί να γίνει και αλγεβρικά....
Kαλαθάκης Γιώργης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μελέτη με παράμετρο
Καλημέρα σε όλους!
Η εξίσωση έχει την προφανή λύση
Για είναι
Μου θυμίζει το ερώτημα (δ) του ου θέματος στις Πανελλήνιες του Μπορούσε να απαντηθεί με ύλη Α' Λυκείου.
Ζητούσε να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση στο Είχε σπάσει τα ταμεία ο
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Μελέτη με παράμετρο
Φοβερό! Και να φανταστείτε ... επιστράτευσα μονοτονίες κυρτότητες και δεν συμμαζεύεται!george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 10:43 amΚαλημέρα σε όλους!
Η εξίσωση έχει την προφανή λύση
Για είναι
Μου θυμίζει το ερώτημα (δ) του ου θέματος στις Πανελλήνιες του Μπορούσε να απαντηθεί με ύλη Α' Λυκείου.
Ζητούσε να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση στο Είχε σπάσει τα ταμεία ο
Και ήταν τόσο απλό(;)...
Τελικά το απλό είναι εύκολο; Δεν είμαι σίγουρος. Είμαι σίγουρος ότι είναι πιο όμορφο.
Όπως επίσης είμαι σίγουρος ότι ο Γιώργης, ο Γιώργος και τόσοι άλλοι στο κατέχουν αυτή την ομορφιά.
Και μας την προσφέρουν απλόχερα...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Μελέτη με παράμετρο
και με την πολύ εύστοχη διαπίστωση αυτής της πρότασης του Σταμάτη να μοιραστώ μαζί σας ένα ερώτημα που με σπαζοκεφάλιασε πριν μερικές εβδομάδες.Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 11:56 am.....
Τελικά το απλό είναι εύκολο; Δεν είμαι σίγουρος. Είμαι σίγουρος ότι είναι πιο όμορφο.
.....
Μετά απο διαγώνισμα με συνέχειες όρια ορισμό παραγώγου σε θέμα Δ συνάντησα το εξής ερώτημα Δ4:
Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε .
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μελέτη με παράμετρο
Άμεσο από τηνChristos.N έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pmΔίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε .
(υπόψη ότι ο παρονομαστής είναι γνήσια μεγαλύτερος του αφού η παίρνει τιμές στο ).
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μελέτη με παράμετρο
Με τι ισούται άραγε το ;Christos.N έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pmΔίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε .
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Μελέτη με παράμετρο
Εγώ Δημήτρη έχω άλλη μια απορία , υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Οι μαθητές μας όταν αντιμετωπίζουν ένα πρόβλημα είναι πιο άμεσοι από εμάς και πιο "σπίρτα " , έχω πιάσει τον εαυτό μου να εχει πελαγώσει από τα δεδομένα ενός προβλήματος σαν αυτό και να μην μπορώ να λύσω κάτι γιατί δεν έχει γινει ξεκάθαρο στην αντίληψή μου η συμπεριφορά ενός ερωτήματος. Αλλά είπαμε αληθής.
Υ.Γ. Επειδή την έγραφα από μνήμης ή ανίσωση μπορεί να μην ήταν γνήσια. Υπάρχει κάποια παράμετροποίηση στα δεδομενα όμως που θα μπορούσε να είναι και αυτή.
Οι μαθητές μας όταν αντιμετωπίζουν ένα πρόβλημα είναι πιο άμεσοι από εμάς και πιο "σπίρτα " , έχω πιάσει τον εαυτό μου να εχει πελαγώσει από τα δεδομένα ενός προβλήματος σαν αυτό και να μην μπορώ να λύσω κάτι γιατί δεν έχει γινει ξεκάθαρο στην αντίληψή μου η συμπεριφορά ενός ερωτήματος. Αλλά είπαμε αληθής.
Υ.Γ. Επειδή την έγραφα από μνήμης ή ανίσωση μπορεί να μην ήταν γνήσια. Υπάρχει κάποια παράμετροποίηση στα δεδομενα όμως που θα μπορούσε να είναι και αυτή.
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Σάβ Νοέμ 04, 2017 10:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μελέτη με παράμετρο
Αν προσπαθήσεις να υπολογίσεις το θα δεις ότι δεν υπάρχει.Christos.N έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 10:06 pmΕγώ Δημήτρη έχω άλλη μια απορία , υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Μελέτη με παράμετρο
Δυστυχώς με πρόλαβες δες το υστερόγραφο όμως που έχω ενσωματώσει στην προηγούμενη δημοσίευση.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μελέτη με παράμετρο
Τελικά η σωστή διατύπωση μετά την επισήμανση του Δημήτρη είναι (κάνω δύο αλλαγές):Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:15 pmΆμεσο από τηνChristos.N έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pmΔίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε .
(υπόψη ότι ο παρονομαστής είναι γνήσια μεγαλύτερος του αφού η παίρνει τιμές στο ).
Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε .
H απόδειξη που έγραψα πριν, περνάει για την περίπτωση του διορθωμένου (αλλά η ανισότητα είναι γνήσια στις περιπτώσεις που , από κεί και πέρα είναι "").
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Μελέτη με παράμετρο
Είτε η παραλλαγή
Christos.N έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pm
Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε .
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μελέτη με παράμετρο
Χρήστο, δεν είναι σωστή η διόρθωση αυτή. Π.χ. για η αρχική υπόθεση δίνει , οπότε δεν ισχύει η γνήσια ανισότητα στο αποδεικτέο.Christos.N έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 10:36 pmΕίτε η παραλλαγή
Christos.N έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pm
Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε .
Αν θέλουμε να κάνουμε διόρθωση στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να διατηρήσουμε την γνήσια ανισότητα στο συμπέρασμα, τότε πρέπει να ορίσουμε την στο .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μελέτη με παράμετρο
Christos.N έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pmκαι με την πολύ εύστοχη διαπίστωση αυτής της πρότασης του Σταμάτη να μοιραστώ μαζί σας ένα ερώτημα που με σπαζοκεφάλιασε πριν μερικές εβδομάδες.Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2017 11:56 am.....
Τελικά το απλό είναι εύκολο; Δεν είμαι σίγουρος. Είμαι σίγουρος ότι είναι πιο όμορφο.
.....
Μετά απο διαγώνισμα με συνέχειες όρια ορισμό παραγώγου σε θέμα Δ συνάντησα το εξής ερώτημα Δ4:
Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε .
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Μελέτη με παράμετρο
Σταύρο να δεχτούμε το υπόριζο στον δεύτερο όρο του αθροίσματος, πως έφτασες όμως σε αυτό το συμπέρασμα;
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μελέτη με παράμετρο
Γεια σου Χρήστο.Christos.N έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 05, 2017 11:45 amΣταύρο να δεχτούμε το υπόριζο στον δεύτερο όρο του αθροίσματος, πως έφτασες όμως σε αυτό το συμπέρασμα;
Πήγα στο παρακάτω
https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
μέθοδο Cardano .Πήρα τον τύπο και την βρήκα.
Εννοείται ότι η ορίζεται για
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης