Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Είναι
από την δοθείσα. (Ισχύει ότι:
)
Άρα από Πόρισμα συνεπειών ΘΜΤ έχουμε ότι
και επειδή
, συμπεραίνουμε
.
Άρα
,
.
Επίσης
και επειδή η
είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό
η
διατηρεί πρόσημο. Όμως
. Άρα
και
.
(β) Θεωρώ την
. Είναι
, διότι
,
όταν
άρα
.
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι υπάρχει ένας αριθμός
κοντά στο
ώστε
.
Επί πλέον
.
Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano για την
στο
.
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα
ώστε
δηλαδή
.
Ομοίως εργαζόμενοι στο διάστημα
προκύπτει
δηλαδή
.
Επίσης ισχύει
και
.
Επομένως η
κυρτή (μας χρειάζεται στο γ) και η
γνησίως αύξουσα.
Τώρα αν υποθέσουμε ότι η
έχει τρεις ρίζες στο
,εφαρμόζοντας δύο φορές το θεώρημα Rolle
στην
προκύπτουν δύο ρίζες στην
, άτοπο αφού η
γνησίως αύξουσα.
Άρα η
έχει ακριβώς δύο ρίζες στο
.
(γ) Εφαρμόζοντας ΘΜΤ στην
στο διάστημα
έχουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
ώστε
.
Ομοίως εφαρμόζοντας ΘΜΤ στην
στο διάστημα
έχουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
ώστε
.
Όμως η
είναι γνησίως αύξουσα αφού η
είναι κυρτή .
Άρα
, οπότε προκύπτει
, από το προηγούμενο υποερώτημα.
(Δηλαδή εφαρμόσαμε ανισότητα Jensen....)
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος