Μονοτονία και ανίσωση

#1

Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle f$ δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\displaystyle [0, + \infty )$ με f(0)=0.

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g(x) = \frac{{f(x)}}{x}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle (0, + \infty )$

β) Αν

είναι μία παράγουσα της

στο $\displaystyle (0, + \infty )$ να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle G({x^4} + 3) - G({x^2} + 3) < G({x^4} + 2) - G({x^2} + 2)$

Andreas A. · #2

Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ στο διάστημα [0,x]

: $\ \ \ \ \exists \rho \in (0,x)$ τέτοιο ώστε $f'(\rho)=\frac{f(x)}{x}$

Όμως $\rho<x \overset{f'\uparrow}{\Rightarrow} \frac{f(x)}{x}<f'(x) \overset{x>0}{\Rightarrow} \boxed{xf'(x)-f(x)>0 \ \ \forall x \in (0,+\infty)}$ (1)

Παραγωγίζοντας την g: $g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}>0$ λόγω (1). Άρα $g \uparrow$ στο $(0,+\infty)$

Θεωρούμε: $h(x)=G(x+1)-G(x) , x\in(0,+\infty)$
h'(x)=g(x+1)-g(x)>0

καθώς $g \uparrow$ Άρα $h \uparrow$

$G(x^4+3)-G(x^2+3)<G(x^4+2)-G(x^2+2)\Leftrightarrow G(x^4+3)-G(x^4+2)<G(x^2+3)-G(x^2+2) \Leftrightarrow h(x^4+2)<h(x^2+2)\overset{h \uparrow}{\Leftrightarrow}x^4+2<x^2+2 \Leftrightarrow x^2(x+1)(x-1)<0 \Leftrightarrow \boxed{x\in (-1,0) \cup(0,1)}$

Μονοτονία και ανίσωση

Μονοτονία και ανίσωση

Re: Μονοτονία και ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση