Εμβαδόν με ασύμπτωτη

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1716
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Εμβαδόν με ασύμπτωτη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Παρ Φεβ 23, 2018 12:25 pm

Καλησπέρα :logo: .

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f(x)=x^{2}e^{x^{3}}, την οριζόντια ασύμπτωτή της στο -\inftyκαι τον y'y.

Ευχαριστώ.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)

Λέξεις Κλειδιά:
Andreas A.
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Σάβ Απρ 22, 2017 8:50 pm

Re: Εμβαδόν με ασύμπτωτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Andreas A. » Παρ Φεβ 23, 2018 2:14 pm

Παίρνοντας όριο στο -\infty:
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2e^{x^3}=\left (\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}  \right )\left (\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3e^{x^3}  \right )=0}

καθώς: \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3e^{x^3} \overset{u=x^3}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty}ue^u=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{u}{e^{-u}}\overset{DLH}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{-e^{-u}}=0} και \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x}=0}

Άρα η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -\infty την y=0 (άξονας χ'χ).

Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι το:

\displaystyle{E=\lim_{x\rightarrow -\infty}\int_{x}^{0} \left |f(x)-0 \right | \mathrm{d} x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\int_{x}^{0}x^2e^{x^3}\mathrm{d} x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\left[ \frac{1}{3}e^{x^3} \right ]_{x}^{0}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\ \left (\frac{1}{3}-e^{x^3} \right ) =\frac{1}{3}}

Για το οπτικό του όλου ζητήματος μια γενική εικόνα της συνάρτησης στο [-6,1]:
Συνημμένα
untitled.jpg
f(x)=x^2*e^(x^3)
untitled.jpg (66.4 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές


Ανδρέας Αλεξανδρής
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1576
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Εμβαδόν με ασύμπτωτη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Φεβ 23, 2018 8:41 pm

Πως χωράει αυτή η άσκηση στον φάκελο αυτό;


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1716
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Εμβαδόν με ασύμπτωτη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Φεβ 25, 2018 8:21 pm

Καλησπέρα,ευχαριστώ το μέλος Andreas A για τη λύση.
Κ.Ντάβα την άσκηση την βρήκα σε βοήθημα για γ λυκείου και μου έκανε και εμένα εντύπωση γιατί η λύση της ¨ξεπερνά" την ύλη της γ. Παρακαλώ τους συντονιστές, αν δημιουργείται πρόβλημα, να την μεταφέρουν σε άλλο φάκελο.Ευχαριστώ θερμά.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης