M.S.Vovos έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 04, 2018 8:56 pm
Έστω η συνάρτηση
τέτοια ώστε, για κάθε
να ισχύει:
Να αποδείξετε ότι:
- Η είναι αντιστρέψιμη και το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών .
- Για κάθε ισχύει .
- Η είναι συνεχής, αξιοποιώντας το ερώτημα (β΄) ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο.
Φιλικά,
Μάριος
EDIT: Ξέχασα ένα
.
...μια απάντηση για τα δύο ερωτήματα... πιστεύω με το ποιό σύντομο τρόπο...
Α) Είναι
και θεωρώντας την συνάντηση
θα έχουμε την ισότητα
(1)
Επειδή τώρα
η συνάρτηση
είναι γνήσια αύξουσα στο
και έτσι από
που σημαίνει ότι συνάρτηση
είναι γνήσια αύξουσα άρα και
επομένως αντιστρέψιμη.
Β) Αφού τώρα το σύνολο τιμών της συνεχούς
είναι
και από (1)
(2) λόγω της ισότητας, το σύνολο τιμών της
δηλαδή
το πεδίο ορισμού της
είναι το σύνολο τιμών της
δηλαδή το πεδίο ορισμού της
, άρα το
(….από την (1) μπορούμε να βρούμε και την αντίστροφη της
με όπου
την
προκύπτει ότι
άρα
)
...για το εμβαδό σύμφωνα με το ζητούμενο έχουμε δύο χωρία...
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης