Abitur

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 138
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Abitur

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Μαρ 12, 2018 11:20 am

Ένα θέμα από Abitur.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2-\frac{12}{e^{3x} + 3},x\in R.

α) Nα μελετήσετε την f ως προς τα σημεία τομής με τον x’x, τη μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής.

β) Να δείξετε ότι για κάθε t\in R ισχύει f( \frac{1}{3}ln3 - t ) = - f( \frac{1}{3}ln3 + t ).

Ποια είναι η σημασία της σχέσης αυτής για τη γραφική παράσταση;

γ) Να δείξετε ότι για κάθε x\in R ισχύει: 2 - f(x) \leq 6 e^{-\frac{3x}{2}} .

δ) (εκτός ύλης) Να δείξετε ότι το ολοκλήρωμα \int_{\frac{1}{3}ln3}^{+\infty }2-f(x)dx υπάρχει (στο R).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 826
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Abitur

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Μαρ 12, 2018 4:46 pm

Λαμπρό καλησπέρα. Αν έχεις και άλλα θέματα από ξένες εξετάσεις μη διστάσεις να τα ανεβάσεις. Τα βρίσκω πολύ ενδιαφέροντα.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 296
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Abitur

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Μαρ 14, 2018 1:24 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Μαρ 12, 2018 11:20 am
Ένα θέμα από Abitur.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2-\frac{12}{e^{3x} + 3},x\in R.

α) Nα μελετήσετε την f ως προς τα σημεία τομής με τον x’x, τη μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής.

β) Να δείξετε ότι για κάθε t\in R ισχύει f( \frac{1}{3}ln3 - t ) = - f( \frac{1}{3}ln3 + t ).

Ποια είναι η σημασία της σχέσης αυτής για τη γραφική παράσταση;

γ) Να δείξετε ότι για κάθε x\in R ισχύει: 2 - f(x) \leq 6 e^{-\frac{3x}{2}} .

δ) (εκτός ύλης) Να δείξετε ότι το ολοκλήρωμα \int_{\frac{1}{3}ln3}^{+\infty }2-f(x)dx υπάρχει (στο R).
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
α) Η f είναι παραγωγίσιμη με f'(x)=\dfrac{36e^{3x}}{\left (e^{3x}+3 \right )^{2}}>0.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}. Επομένως δεν παρουσιάζει ακρότατα.
Επίσης η f' είναι παραγωγίσιμη με f''(x)=\dfrac{108e^{3x}\left ( 3-e^{3x} \right )}{\left ( e^{3x}+3 \right )^3} .
Είναι f''(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{ln3}{3} , f''(x)>0\,\,\,\ \forall x\in \left (-\infty,\dfrac{ln3}{3} \right ) και f''(x)<0\,\,\,\ \forall x\in \left (\dfrac{ln3}{3} ,+\infty \right ) .
Άρα η C_f παρουσιάζει σημείο καμπής το  K\left ( \dfrac{ln3}{3} , 0 \right ) .

β) Μετά πράξεις έχουμε f( \frac{1}{3}ln3 - t ) = \dfrac{2-2e^{3t}}{1+e^{3t}} = - f( \frac{1}{3}ln3 + t ) .
Η παραπάνω σχέση σημαίνει ότι η C_f έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο καμπής K .

γ) Είναι: 2 - f(x) \leq 6 e^{-\frac{3x}{2}} \Leftrightarrow e^{3x}+3\geq 2e^{-\frac{3x}{2}} \Leftrightarrow \left ( e^{-\frac{3x}{2}}-1 \right )^{2}+2\geq 0 , ισχύει.

Επειδή είναι ... αργά για το δ) θα επανέλθω !
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1577
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Abitur

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Μαρ 14, 2018 11:37 am

Να το συνεχίσω Σταμάτη

δ)

\displaystyle \begin{gathered} 
  \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx = \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {\frac{{12}}{{{e^{3x}} + 3}}} \,dx\mathop  = \limits^{\left\{ \begin{subarray}{l}  
  3x = \ln y \Leftrightarrow y = {e^{3x}} \\  
  dx = \frac{1}{{3y}}dy  
\end{subarray}  \right\}} \int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{4}{{\left( {y + 3} \right)y}}} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{3}{{\left( {y + 3} \right)y}}} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{1}{y} - \frac{1}{{y + 3}}} \,dy \hfill \\ 
   \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\left( {\ln y - \ln \left( {y + 3} \right)} \right)'} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {{{\left( {\ln \frac{y}{{y + 3}}} \right)}^\prime }} \,dy = \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{y}{{y + 3}}} \right]_3^{{e^{3t}}} = \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}} + \ln 2} \right] \hfill \\  
\end{gathered}

Έχουμε, \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}}\mathop  = \limits^{\frac{\infty }{\infty },DLH} \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}}}} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}} + \ln 2} \right] = \frac{4}{3}\left( { \ln 2} \right)

Άρα \displaystyle \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^{ + \infty } {2 - f\left( x \right)} \,dx = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \left( {\int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx} \right) = \frac{4}{3}\left( { \ln 2} \right)

Δηλαδή δείξαμε ότι υπάρχει.

Υ.Γ.: Μια φορά να μην κάνω ένα λάθος , μια φορά όμως!


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 138
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Abitur

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μαρ 14, 2018 11:58 am

Καλημέρα σας και ευχαριστώ. Για το τελευταίο ερώτημα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το αποτέλεσμα του (γ) ερωτήματος. Το ολοκλήρωμα στο δεξί μέλος είναι απλούστερο να υπολογιστεί και εύκολα δείχνουμε ότι είναι ίσο με \frac{4}{\sqrt{3}}.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1577
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Abitur

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Μαρ 14, 2018 12:02 pm

Τι ορισμός δίνεται στο πλαίσιο αυτών των εξετάσεων; Εννοώ εκεί που το βρήκες πότε θεωρούν ότι τα γενικευμένα α' είδους συγκλίνουν;


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 138
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Abitur

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μαρ 14, 2018 12:10 pm

Christos.N έγραψε:
Τετ Μαρ 14, 2018 12:02 pm
Τι ορισμός δίνεται στο πλαίσιο αυτών των εξετάσεων; Εννοώ εκεί που το βρήκες πότε θεωρούν ότι τα γενικευμένα α' είδους συγκλίνουν;
Δυστυχώς δεν έχω κάποιο βιβλίο για το κοιτάξω. Πάντως στο συγκεκριμένο η ολοκληρωτέα είναι \geq 0 οπότε η

συνάρτηση ολοκλήρωμα είναι γν.αύξουσα. Επειδή είναι και φραγμένη θα συγκλίνει.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 296
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Abitur

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Μαρ 19, 2018 9:33 pm

Christos.N έγραψε:
Τετ Μαρ 14, 2018 11:37 am
Να το συνεχίσω Σταμάτη

δ)

\displaystyle \begin{gathered} 
  \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx = \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {\frac{{12}}{{{e^{3x}} + 3}}} \,dx\mathop  = \limits^{\left\{ \begin{subarray}{l}  
  3x = \ln y \Leftrightarrow y = {e^{3x}} \\  
  dx = \frac{1}{{3y}}dy  
\end{subarray}  \right\}} \int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{4}{{\left( {y + 3} \right)y}}} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{3}{{\left( {y + 3} \right)y}}} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{1}{y} - \frac{1}{{y + 3}}} \,dy \hfill \\ 
   \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\left( {\ln y - \ln \left( {y + 3} \right)} \right)'} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {{{\left( {\ln \frac{y}{{y + 3}}} \right)}^\prime }} \,dy = \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{y}{{y + 3}}} \right]_3^{{e^{3t}}} = \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}} + \ln 2} \right] \hfill \\  
\end{gathered}

Έχουμε, \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}}\mathop  = \limits^{\frac{\infty }{\infty },DLH} \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}}}} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}} + \ln 2} \right] = \frac{4}{3}\left( { \ln 2} \right)

Άρα \displaystyle \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^{ + \infty } {2 - f\left( x \right)} \,dx = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \left( {\int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx} \right) = \frac{4}{3}\left( { \ln 2} \right)

Δηλαδή δείξαμε ότι υπάρχει.

Υ.Γ.: Μια φορά να μην κάνω ένα λάθος , μια φορά όμως!
Χρήστο καλησπέρα. Τώρα κατάφερα να μπω στο :logo: και είδα την καταπληκτική αντιμετώπιση του θέματος.
Θεωρώ δε ότι και με κατάλληλη διατύπωση η άσκηση είναι εντός ύλης ...
Κάνω μια προσπάθεια ... με βάση την λύση σου.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I(t)=\displaystyle{\int_{\frac{1}{3}ln3}^{t} }\left ( 2-f(x) \right )dx και στη συνέχεια το όριο \displaystyle{\lim_{t\rightarrow +\infty }}I(t) .
H δική μου λύση ήταν παρόμοια με την λύση που αναφέρει ο Λάμπρος.
Στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα, το οποίο αναφέρεται ως Κριτήριο σύγκρισης , στο βιβλίο που έχω υπ' όψιν μου.
Είναι το : "Ασκήσεις Λογισμού συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής" της Βασιλικής Δ. Φράγκου, 2η έκδοση,
Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη 2001.
Στη σελίδα 203:
Αν \forall x \in \left [a,+\infty \right ), 0\leq f(x)\leq \phi (x) και \forall t\in \left [a, +\infty \right ) οι συναρτήσεις f,\phi είναι ολοκλήρώσιμες στο [a,t], τότε
(i) αν υπάρχει το \displaystyle \int_{a}^{+\infty }\phi (x)dx , υπάρχει και το \displaystyle \int_{a}^{+\infty }f (x)dx , ενώ
(ii) αν δεν υπάρχει το \displaystyle \int_{a}^{+\infty }f(x)dx , δεν υπάρχει και το \displaystyle \int_{a}^{+\infty }\phi  (x)dx .
Εδώ, όπως βλέπουμε, δεν χρειάζεται η μονοτονία.
Φυσικά είναι εκτός ύλης αυτή η αντιμετώπιση.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης