Επαναληπτική 2/2018

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 897
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Επαναληπτική 2/2018

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Απρ 13, 2018 4:01 pm

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} με f(0)=1 τέτοια ώστε, για κάθε x\in \mathbb{R} να ισχύει:

\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{3}(x+h)-f^{3}(x-h)-6xh}{h}=0}
(α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle f'(x)f^{2}(x)=x, για κάθε x\in \mathbb{R}.
(β) Να αποδείξετε ότι \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\frac{3x^{2}}{2}+1}, x\in \mathbb{R}.
(γ.i.) Να μελετήσετε την f ως προς:
  • τη μονοτονία,
  • τα ακρότατα,
  • το σύνολο τιμών,
  • την κυρτότητα,
  • τα σημεία καμπής,
  • τις ασύμπτωτες ευθείες της.
(γ.ii.) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.
(δ) Αν \displaystyle a,b\in \left [ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right ] με άθροισμα \displaystyle \sqrt{\frac{14}{3}}, τότε να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
\displaystyle{\displaystyle \mathcal{A}=\sqrt[3]{3a^{2}+2}+\sqrt[3]{3b^{2}+2}}
Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Επαναληπτική 2/2018

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Παρ Απρ 13, 2018 11:30 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Απρ 13, 2018 4:01 pm
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} με f(0)=1 τέτοια ώστε, για κάθε x\in \mathbb{R} να ισχύει:

\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{3}(x+h)-f^{3}(x-h)-6xh}{h}=0}
(α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle f'(x)f^{2}(x)=x, για κάθε x\in \mathbb{R}.
(β) Να αποδείξετε ότι \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\frac{3x^{2}}{2}+1}, x\in \mathbb{R}.
(γ.i.) Να μελετήσετε την f ως προς:
  • τη μονοτονία,
  • τα ακρότατα,
  • το σύνολο τιμών,
  • την κυρτότητα,
  • τα σημεία καμπής,
  • τις ασύμπτωτες ευθείες της.
(γ.ii.) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.
(δ) Αν \displaystyle a,b\in \left [ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right ] με άθροισμα \displaystyle \sqrt{\frac{14}{3}}, τότε να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
\displaystyle{\displaystyle \mathcal{A}=\sqrt[3]{3a^{2}+2}+\sqrt[3]{3b^{2}+2}}
Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια στα τρία πρώτα ...
(α) Είναι:
\dfrac{f^{3}(x+h)-f^{3}(x-h)-6xh}{h}=\dfrac{\left [f(x+h)-f(x-h)  \right ]\left [ f^2(x+h)+f(x+h)f(x-h)+f^2(x-h) \right ]-6xh}{h}=
=\left [\dfrac{f(x+h)-f(x) }{h} - \dfrac{f(x-h)-f(x) }{h}\right ]\left [ f^2(x+h)+f(x+h)f(x-h)+f^2(x-h) \right ]- 6xh
Θέτω x-h=u . \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}u= \lim_{h\rightarrow 0}(x-h)=x.
Γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}.
Άρα \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x-h)-f(x) }{h} = \lim_{u\rightarrow x} \dfrac{f(u)-f(x) }{x-u} = -\lim_{u\rightarrow x} \dfrac{f(u)-f(x) }{u-x}= f'(u) .
Επίσης η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}, άρα και συνεχής στο 0 και στο x.

Συνεπώς \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} f(h) = f(0) =1 .
Θέτοντας x+h= t , έχουμε \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}t= x , οπότε \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}f(x+h)= \lim_{t\rightarrow x}f(t)=f(x) .
Ομοίως \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}f(x-h)= f(x) .

Τελικά έχουμε \displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{3}(x+h)-f^{3}(x-h)-6xh}{h}=0} \Leftrightarrow 2f'(x) 3f^2(x) - 6x =0 \Leftrightarrow f'(x) f^2(x) = x  .

(β) Ισχύει : f'(x) f^2(x) = x  \Leftrightarrow 3f'(x) f^2(x) = 3x  \Leftrightarrow  (f^3(x))'  =  \left ( \dfrac{3x^2}{2} \right )' .
Συνεπώς από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ συμπεραίνουμε ότι f^3(x) =  \dfrac{3x^2}{2} + c .
Θέτω x=0 από όπου προκύπτει c=1 . Επομένως f^3(x) =  \dfrac{3x^2}{2} + 1 .
Άρα f^3(x)>0 , \forall x\in \mathbb{R} . Άρα και f(x)>0 , \forall x\in \mathbb{R} .
Άρα \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{3x^{2}}{2}+1} .

(γ) (i) Είναι f'(x)=\dfrac{x}{f^2(x)}
Επομένως f'(x)<0 , \forall x\in(-\infty , 0) \Rightarrow f : γνησίως φθίνουσα στο  (-\infty , 0]  .
Επίσης f'(x)>0 , \forall x\in(0, +\infty ) \Rightarrow f : γνησίως αύξουσα στο  [0,+\infty )  .
Συνεπώς η f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x=0 , το f(0)=1 .

Θέτοντας u=\dfrac{3x^{2}}{2}+1 , έχουμε \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }u= \lim_{x\rightarrow -\infty } \left ( \dfrac{3x^{2}}{2} \right ) = +\infty ,
οπότε \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty . Ομοίως \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty .
Από την μονοτονία και την συνέχεια της f προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της είναι το [1,+\infty ) .
Επίσης η f είναι παραγωγίσιμη . Συνεπώς έχουμε f'(x)=\left ( \dfrac{3}{2}x^2 +1 \right )^{-\frac{2}{3}}\cdot x.
Επί πλέον η f' είναι παραγωγίσιμη . Συνεπώς έχουμε f''(x)=\left ( \dfrac{3}{2}x^2 +1 \right )^{-\frac{2}{3}}\cdot \dfrac{-x^2 +2}{3χ^2+2}.
Από τα παραπάνω προκύπτουν :
f''(x)<0 , \forall x\in(-\infty ,- \sqrt{2}) \Rightarrow f : κοίλη στο  (-\infty ,- \sqrt{2} ) .
f''(x)>0 , \forall x\in(-\sqrt{2} , \sqrt{2}) \Rightarrow f : κυρτή στο  (-\sqrt{2} , \sqrt{2} ) .
f''(x)<0 , \forall x\in(\sqrt{2},+\infty ) \Rightarrow f : κοίλη στο  (\sqrt{2},+\infty) .
Επίσης ισχύει f''(-\sqrt{2})=f''(\sqrt{2})=0 .
Άρα σημεία καμπής τα B (-\sqrt{2}, \sqrt[3]{4}) και C (\sqrt{2}, \sqrt[3]{4}) .
Για τις ασύμπτωτες έχουμε :
Κατ' αρχάς η f δεν παρουσιάζει κατακόρυφες ασύπτωτες αφού είναι συνεχής στο \mathbb{R} .
Επίσης έχουμε
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\sqrt[3]{\frac{3x^2}{2}+1}}{-(-x)}} = \lim_{x\rightarrow -\infty }\left (-\sqrt[3]{\frac{3x^2+1}{-2x^3}} \right ) = 0,
αφού το όριο της ρητής συνάρτησης μέσα στη ρίζα είναι μηδέν.
Όμως \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty .
Άρα η f δεν παρουσιάζει πλάγια ασύμπτωτη στο -\infty .
Ομοίως προκύπτει ότι η f δεν παρουσιάζει πλάγια ασύμπτωτη στο +\infty .
(γ)(ii)
Επαναληπτική 2_2018.png
Επαναληπτική 2_2018.png (8.1 KiB) Προβλήθηκε 683 φορές
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Τροβαδούρος
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm

Re: Επαναληπτική 2/2018

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τροβαδούρος » Παρ Απρ 13, 2018 11:54 pm

Για το τελευταίο

Με ΘΜΤ για την f αποδεικνύουμε ότι για κάθε a,b\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}] ισχύει:

f(a)+f(b) \ge 2f(\dfrac{a+b}{2})=2f(\sqrt{\dfrac{14}{12}})

άρα η ελάχιστη τιμή του A είναι η 2f(\sqrt{\dfrac{14}{12}}) αφού επιτυγχάνεται για a=b=\sqrt{\dfrac{14}{12}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες