M.S.Vovos έγραψε: ↑Παρ Απρ 13, 2018 4:01 pm
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση
με
τέτοια ώστε, για κάθε
να ισχύει:
(α) Να αποδείξετε ότι
, για κάθε
.
(β) Να αποδείξετε ότι
,
.
(γ.i.) Να μελετήσετε την
ως προς:
- τις ασύμπτωτες ευθείες της.
(γ.ii.) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της
.
(δ) Αν
με άθροισμα
, τότε να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια στα τρία πρώτα ...
(α) Είναι:
Θέτω
.
.
Γνωρίζουμε ότι η
είναι παραγωγίσιμη στο
.
Άρα
.
Επίσης η
είναι συνεχής στο
, άρα και συνεχής στο
και στο
.
Συνεπώς
.
Θέτοντας
, έχουμε
, οπότε
.
Ομοίως
.
Τελικά έχουμε
.
(β) Ισχύει :
.
Συνεπώς από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ συμπεραίνουμε ότι
.
Θέτω
από όπου προκύπτει
. Επομένως
.
Άρα
,
. Άρα και
,
.
Άρα
.
(γ) (i) Είναι
Επομένως
,
: γνησίως φθίνουσα στο
.
Επίσης
,
: γνησίως αύξουσα στο
.
Συνεπώς η
παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο
, το
.
Θέτοντας
, έχουμε
,
οπότε
. Ομοίως
.
Από την μονοτονία και την συνέχεια της
προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της είναι το
.
Επίσης η
είναι παραγωγίσιμη . Συνεπώς έχουμε
.
Επί πλέον η
είναι παραγωγίσιμη . Συνεπώς έχουμε
.
Από τα παραπάνω προκύπτουν :
,
: κοίλη στο
.
,
: κυρτή στο
.
,
: κοίλη στο
.
Επίσης ισχύει
.
Άρα σημεία καμπής τα
και
.
Για τις ασύμπτωτες έχουμε :
Κατ' αρχάς η
δεν παρουσιάζει κατακόρυφες ασύπτωτες αφού είναι συνεχής στο
.
Επίσης έχουμε
,
αφού το όριο της ρητής συνάρτησης μέσα στη ρίζα είναι μηδέν.
Όμως
.
Άρα η
δεν παρουσιάζει πλάγια ασύμπτωτη στο
.
Ομοίως προκύπτει ότι η
δεν παρουσιάζει πλάγια ασύμπτωτη στο
.
(γ)(ii)
- Επαναληπτική 2_2018.png (8.1 KiB) Προβλήθηκε 1064 φορές
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος