Δίκλαδη

pito · #1

Καλησπέρα

.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix}(x^{2})^{x},x\neq 0 & \\ 1,x=0 & \end{matrix}\right.$

α) Να μελετηθεί η

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
β) i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

στο

ii) να λυθεί η εξίσωση $f(x)+x^{2}-4x+2=0,x>0$
γ) Να δείξετε ότι $\int_{0}^{1}xf(x+1)dx>1+\int_{0}^{1}(x-1)f(x)dx$

#2

pito έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 14, 2018 3:53 pm
Καλησπέρα .

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix}(x^{2})^{x},x\neq 0 & \\ 1,x=0 & \end{matrix}\right.$

α) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
β) i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο
ii) να λυθεί η εξίσωση $f(x)+x^{2}-4x+2=0,x>0$
γ) Να δείξετε ότι $\int_{0}^{1}xf(x+1)dx>1+\int_{0}^{1}(x-1)f(x)dx$

...μια αντιμετώπιση μέχρι και το γ.....

α) Είναι για $x\ne 0$ η $f(x)={{x}^{2x}}={{e}^{2x\ln |x|}}$ με

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{2x\ln |x|}}\underset{\begin{smallmatrix} x\to {{0}^{+}} \\ u\to {{0}^{+}} \end{smallmatrix}}{\overset{u=x\ln |x|}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{2u}}=1=f(0)$ άρα συνεχής και στο x=0

άρα συνεχής στο πεδίο ορισμού της και για $x\ne 0$ παραγωγίσιμη με

${f}'(x)=2{{e}^{2x\ln |x|}}(x\ln |x|)=2f(x)(\ln |x|+1)$ και τότε

${f}'(x)=0\Leftrightarrow \ln |x|+1=0\Leftrightarrow \ln |x|=-1\Leftrightarrow |x|=\frac{1}{e}\Leftrightarrow (x=-\frac{1}{e},\,\,x=\frac{1}{e})$

και ${f}'(x)>0\Leftrightarrow \ln |x|+1>0\Leftrightarrow \ln |x|>-1\Leftrightarrow |x|>\frac{1}{e}\Leftrightarrow (x<-\frac{1}{e},\,\,x>\frac{1}{e})$

και ${f}'(x)<0\Leftrightarrow \ln |x|+1<0\Leftrightarrow \ln |x|-1<0\Leftrightarrow |x|<\frac{1}{e}\Leftrightarrow (-\frac{1}{e}<x<\frac{1}{e})$

επομένως η

είναι γνήσια αύξουσα στα διαστήματα $(-\infty ,\,-\frac{1}{e}],\,\,[\frac{1}{e},\,+\infty )$ και γνήσια φθίνουσα στο διάστημα

$[-\frac{1}{e},\,\,\frac{1}{e}]$ άρα έχει τοπικό μέγιστο το $f(-\frac{1}{e})={{e}^{-\frac{2}{e}}}$ και τοπικό μέγιστο το $f(\frac{1}{e})={{e}^{\frac{2}{e}}}$

β)i) Είναι ${f}'(x)=2f(x)(\ln |x|+1),\,\,x\ne 0$ άρα {f}'(1)=2f(1)=2

και η εφαπτομένη τότε είναι $y-1=2(x-1)\Leftrightarrow y=2x-1$

ii) Η εξίσωση $f(x)+x^{2}-4x+2=0,x>0$ έχει προφανή ρίζα την x=1

και τώρα η συνάρτηση

$g(x)=f(x)+{{x}^{2}}-4x+2=f(x)-2x+1+{{x}^{2}}-2x+1=$

$=f(x)-2x+1+{{(x-1)}^{2}}>0,\,\,x\ne 1$ γιατί για x>0

η

και

$\displaystyle {f}''(x)=2{f}'(x)(lnx+1)+2f(x)\frac{1}{x}=$ $\displaystyle =4f(x){{(\ln x+1)}^{2}}+2f(x)\frac{1}{x}=2f(x)(2{{(\ln x+1)}^{2}}+\frac{1}{x})>0,\,\,x>0$

άρα $\displaystyle f$ κυρτή και λόγω κυρτότητας ισχύει $f(x)>2x-1,\,\,x\ne 1$ και ${{(x-1)}^{2}}>0,\,\,x\ne 1$ άρα η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την x=1

...για το γ

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Christos.N · #3

Βασίλη αν αν κατάλαβα καλά είναι κυρτή η συνάρτηση.

Έχουμε :

$\begin{array}{*{20}{l}} {\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) \ge 2x - 1\mathop \Rightarrow \limits^{x \ge 0} f\left( {x + 1} \right) \ge 2x + 1\mathop \Rightarrow \limits^{x \ge 0} xf\left( {x + 1} \right) \ge 2{x^2} + x \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf\left( {x + 1} \right)} {\mkern 1mu} dx > \left[ {\frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2}} \right]_0^1}\\ {f\left( x \right) \ge 2x - 1\mathop \Rightarrow \limits^{1 \ge x \ge 0} \left( {x - 1} \right)f\left( x \right) \le \left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{x \ge 0} \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)} {\mkern 1mu} dx < \left[ {\frac{2}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + x} \right]_0^1 \Rightarrow } \end{array}} \right\} \Rightarrow }\\ {\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\int\limits_0^1 {xf\left( {x + 1} \right)} {\mkern 1mu} dx > \left[ {\frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2}} \right]_0^1}\\ { - \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)} {\mkern 1mu} dx > - \left[ {\frac{2}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + x} \right]_0^1} \end{array}} \right\} \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf\left( {x + 1} \right)} {\mkern 1mu} dx - \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)} {\mkern 1mu} dx > \left[ {2{x^2} - x} \right]_0^1 = 1} \end{array}$

pito · #4

Σας ευχαριστώ και τους δύο για την ενασχόληση.

Δίκλαδη

Δίκλαδη

Re: Δίκλαδη

Re: Δίκλαδη

Re: Δίκλαδη

Μέλη σε σύνδεση