Επαναληπτική 3/2018

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 897
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Επαναληπτική 3/2018

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Απρ 18, 2018 12:58 am

Έστω η συνάρτηση \mathrm{f:\left [0,1 \right ]\longrightarrow \mathbb{R}} για την οποία δίνεται ο τύπος της:

\displaystyle{\mathrm{f(x)=}\left\{\begin{matrix} 
\mathrm{1,} &\mathrm{x=0} \\  
\displaystyle \mathrm{\frac{1}{2},} &\mathrm{x=1} \\  
\displaystyle \mathrm{\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1},} &\mathrm{x\in (0,1)}  
\end{matrix}\right.}
  • Να εξετάσετε αν η \mathrm{f} είναι συνεχής στο \mathrm{\left [0,1   \right ]} και παραγωγίσιμη στο \mathrm{\left (0,1  \right ] }.
  • Να προσδιορίσετε πολυώνυμο \mathcal{P} δευτέρου βαθμού, με πραγματικούς συντελεστές τέτοιο, ώστε να ισχύει: \displaystyle{\mathrm{\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{\left | f(x)-\mathcal{P}(x) \right |}{x^{2}-2x+1}=0}}
    Για τα παρακάτω ερωτήματα δίνεται ότι \mathrm{\displaystyle \mathcal{P}(x)=\frac{x^{2}}{24}-\frac{x}{6}+\frac{5}{8}}.
  • Να αποδείξετε ότι \mathrm{f(x)\geq \mathcal{P}(x)}, για κάθε \mathrm{x\in \left [ 0,1 \right ]}.
  • Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \mathrm{f}, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία \mathrm{x=1} είναι μεγαλύτερο του \mathrm{\displaystyle \frac{5}{9}}.
Φιλικά,
Μάριος


*Έγινε διόρθωση σε πρόσημο. Ευχαριστώ δεν το είχα δει Ratio.
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Πέμ Απρ 19, 2018 1:24 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 256
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Επαναληπτική 3/2018

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Απρ 19, 2018 1:17 am

graph.png
graph.png (100.87 KiB) Προβλήθηκε 970 φορές
Μήπως f(0)=1 ;


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 897
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Επαναληπτική 3/2018

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Πέμ Απρ 26, 2018 3:14 pm

Επαναφορά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες