Επαναληπτική 4/2018

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 893
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Επαναληπτική 4/2018

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Απρ 23, 2018 11:29 pm

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^{\ast } με f(0)=1, τέτοια ώστε για κάθε x\in \mathbb{R} να ισχύει:

\displaystyle{f'(x)\left ( 1+\frac{1}{f(x)} \right )=-2x\left ( e^{-x^{2}}+1 \right )}
  • Να αποδείξετε ότι \displaystyle f(x)+\ln \left (f(x)  \right )=e^{-x^{2}}-x^{2}, για κάθε x\in \mathbb{R}.
  • Να προσδιορίσετε τον τύπο της f.

    Για τα ερωτήματα υπόλοιπα ερωτήματα δίνεται ότι \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}, x\in \mathbb{R}.
  • Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle f(x)=x^{2} έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίθετες.
  • Αν \rho η μεγαλύτερη από τις δύο ρίζες του προηγούμενου ερωτήματος, να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν E του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=-\rho και x=\rho ισχύει:
    \displaystyle{2\rho ^{3}<E<2\rho }
Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Επαναληπτική 4/2018

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Απρ 24, 2018 3:17 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Δευ Απρ 23, 2018 11:29 pm
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^{\ast } με f(0)=1, τέτοια ώστε για κάθε x\in \mathbb{R} να ισχύει:

\displaystyle{f'(x)\left ( 1+\frac{1}{f(x)} \right )=-2x\left ( e^{-x^{2}}+1 \right )}
  • Να αποδείξετε ότι \displaystyle\left (f(x)+\ln \left (f(x) \right ) ' \right )=\left (e^{-x^{2}}-x^{2} \right )' 
, για κάθε x\in \mathbb{R}.
  • Να προσδιορίσετε τον τύπο της f.

    Για τα ερωτήματα υπόλοιπα ερωτήματα δίνεται ότι \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}, x\in \mathbb{R}.
  • Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle f(x)=x^{2} έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίθετες.
  • Αν \rho η μεγαλύτερη από τις δύο ρίζες του προηγούμενου ερωτήματος, να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν E του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=-\rho και x=\rho ισχύει:
    \displaystyle{2\rho ^{3}<E<2\rho }
Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στα δύο πρώτα ...
α) Είναι f(x)\neq 0 , \forall x\in \mathbb{R} και f συνεχής ως παραγωγίσιμη.
Άρα διατηρεί πρόσημο στο \mathbb{R} και επειδή f(0)=1>0 συμπεραίνουμε ότι f(x)>0 , \forall x\in \mathbb{R} .
Η δοθείσα παίρνει την μορφή \left (f(x)+\ln \left (f(x) \right ) \right )' = \left ( e^{-x^{2}}-x^{2} \right )' .
Από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ προκύπτει f(x)+\ln \left (f(x) \right )=e^{-x^{2}}-x^{2} +c .
Θέτοντας στην παραπάνω x=0 έχουμε c=0 .
Άρα ισχύει f(x)+\ln \left (f(x) \right )=e^{-x^{2}}-x^{2} , \forall x\in \mathbb{R} .

β) Θεωρώ g(x)= x+lnx με x>0 . H g είναι παραγωγίσιμη με g'(x) =1+\dfrac{1}{x} >0 .
Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1 .
Από το α) ισχύει g(f(x)) = g(e^{-x^2}) και αφού η g είναι 1-1 είναι f(x)=e^{-x^{2}} .
Η συνέχεια αργότερα αν προλάβω ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1545
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Επαναληπτική 4/2018

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Απρ 25, 2018 1:01 am

M.S.Vovos έγραψε:
Δευ Απρ 23, 2018 11:29 pm
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^{\ast } με f(0)=1, τέτοια ώστε για κάθε x\in \mathbb{R} να ισχύει:

\displaystyle{f'(x)\left ( 1+\frac{1}{f(x)} \right )=-2x\left ( e^{-x^{2}}+1 \right )}
  • Να αποδείξετε ότι \displaystyle f(x)+\ln \left (f(x)  \right )=e^{-x^{2}}-x^{2}, για κάθε x\in \mathbb{R}.
  • Να προσδιορίσετε τον τύπο της f.

    Για τα ερωτήματα υπόλοιπα ερωτήματα δίνεται ότι \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}, x\in \mathbb{R}.
  • Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle f(x)=x^{2} έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίθετες.
  • Αν \rho η μεγαλύτερη από τις δύο ρίζες του προηγούμενου ερωτήματος, να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν E του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=-\rho και x=\rho ισχύει:
    \displaystyle{2\rho ^{3}<E<2\rho }
Φιλικά,
Μάριος
...συνέχεια της λύσης του φίλου μου του Σταμάτη....

Γ) Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση f(x)={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}=0 έχει δύο ακριβώς ρίζες.

Γι αυτό θεωρούμε την συνάρτηση g(x)={{e}^{-x}}-x,\,\,\,x\in R

που είναι συνεχής με g(0)=1>0,\,\,\,\,g(1)=\frac{1}{e}-1<0 άρα ισχύει g(0)g(1)<0 και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano

υπάρχει {{x}_{0}}\in (0,\,1) που g({{x}_{0}})=0 που είναι και μοναδικό αφού είναι

{g}'(x)=-{{e}^{-x}}-1<0,\,\,\,x\in R άρα η g είναι γνήσια φθίνουσα στο R οπότε και '1-1' και η εξίσωση

{{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow g({{x}^{2}})=g({{x}_{0}})\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{x}_{0}}\Leftrightarrow x=-\sqrt{{{x}_{0}}},\,\,x=\sqrt{{{x}_{0}}}

που σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)={{x}^{2}} έχει ακριβώς δύο ρίζες μία την-\rho =-\sqrt{{{x}_{0}}} και μία την \rho =\sqrt{{{x}_{0}}}\in (0,\,1)

Δ) Το εμβαδό του χωρίου είναι E=\int\limits_{-\rho }^{\rho }{f(x)dx} Τώρα από (Γ) είναι {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}\ne 0,\,\,\,x\in (-\rho ,\,\,\rho )

και λόγω συνέχειας της συνάρτησης {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}} θα έχει σταθερό πρόσημο στο διάστημα (-\rho ,\,\,\rho ) και για

0\in (-\rho ,\,\,\rho ) είναι {{e}^{0}}-0=1>0 άρα ισχύει ότι {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow {{e}^{-{{x}^{2}}}}>{{x}^{2}},\,\,\,x\in (-\rho ,\,\rho ) ή

{{e}^{-{{x}^{2}}}}\ge {{x}^{2}},\,\,\,x\in [-\rho ,\,\rho ] και ολοκληρώνοντας έχουμε ότι \int\limits_{-\rho }^{\rho }{f(x)dx}>\int\limits_{-\rho }^{\rho }{{{x}^{2}}dx}=\left[ \frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{-\rho }^{\rho }=\frac{2}{3}{{\rho }^{3}}

Επίσης f είναι παραγωγίσιμη με {f}'(x)=-2x{{e}^{-{{x}^{2}}}},\,\,\,x\in [-\rho ,\,\,\rho ] και

{f}'(x)=0\Leftrightarrow x=0,\,\,\,{f}'(x)<0\Leftrightarrow x>0,\,\,{f}'(x)>0\Leftrightarrow x<0,\, επομένως είναι f γνήσια αύξουσα

στο [-\rho ,\,\,0] και γνήσια φθίνουσα στο [0,\,\,\rho ] επομένως έχει μέγιστο το f(0)=1 οπότε ισχύει ότι

f(x)\le 1,\,\,\,x\in [-\rho ,\,\rho ] και κληρώνοντας ισχύει ότι \int\limits_{-\rho }^{\rho }{f(x)dx}<\int\limits_{-\rho }^{\rho }{dx}=2\rho

και τελικά είναι \frac{2}{3}{{\rho }^{3}}<E<2\rho διαφορετικό από αυτό του δημιουργού… :ewpu: .θα δείξει…

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3231
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Επαναληπτική 4/2018

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Απρ 25, 2018 10:04 am

Καλημέρα Βασίλη.

Σε αυτή την περίπτωση ο δημιουργός έχει δίκιο.

Είναι \int_{-\rho }^{\rho }f(x)dx=2\int_{0 }^{\rho }f(x)dx

Αλλά για x\in (0,\rho )

είναι f(x)> f(\rho )=\rho ^{2}

Ετσι \int_{0 }^{\rho }f(x)dx> \rho (\rho)^{2}=\rho ^{3}

Αν γινόταν ένα σχήμα και οι δύο ανισότητες για το ολοκλήρωμα θα ήταν φανερές.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 256
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Επαναληπτική 4/2018

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τετ Απρ 25, 2018 10:34 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Τετ Απρ 25, 2018 1:01 am
M.S.Vovos έγραψε:
Δευ Απρ 23, 2018 11:29 pm
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^{\ast } με f(0)=1, τέτοια ώστε για κάθε x\in \mathbb{R} να ισχύει:

\displaystyle{f'(x)\left ( 1+\frac{1}{f(x)} \right )=-2x\left ( e^{-x^{2}}+1 \right )}
  • Να αποδείξετε ότι \displaystyle f(x)+\ln \left (f(x)  \right )=e^{-x^{2}}-x^{2}, για κάθε x\in \mathbb{R}.
  • Να προσδιορίσετε τον τύπο της f.

    Για τα ερωτήματα υπόλοιπα ερωτήματα δίνεται ότι \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}, x\in \mathbb{R}.
  • Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle f(x)=x^{2} έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίθετες.
  • Αν \rho η μεγαλύτερη από τις δύο ρίζες του προηγούμενου ερωτήματος, να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν E του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=-\rho και x=\rho ισχύει:
    \displaystyle{2\rho ^{3}<E<2\rho }
Φιλικά,
Μάριος


...συνέχεια της λύσης του φίλου μου του Σταμάτη....

Γ) Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση f(x)={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}=0 έχει δύο ακριβώς ρίζες.

Γι αυτό θεωρούμε την συνάρτηση g(x)={{e}^{-x}}-x,\,\,\,x\in R

που είναι συνεχής με g(0)=1>0,\,\,\,\,g(1)=\frac{1}{e}-1<0 άρα ισχύει g(0)g(1)<0 και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano

υπάρχει {{x}_{0}}\in (0,\,1) που g({{x}_{0}})=0 που είναι και μοναδικό αφού είναι

{g}'(x)=-{{e}^{-x}}-1<0,\,\,\,x\in R άρα η g είναι γνήσια φθίνουσα στο R οπότε και '1-1' και η εξίσωση

{{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow g({{x}^{2}})=g({{x}_{0}})\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{x}_{0}}\Leftrightarrow x=-\sqrt{{{x}_{0}}},\,\,x=\sqrt{{{x}_{0}}}

που σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)={{x}^{2}} έχει ακριβώς δύο ρίζες μία την-\rho =-\sqrt{{{x}_{0}}} και μία την \rho =\sqrt{{{x}_{0}}}\in (0,\,1)

Δ) Το εμβαδό του χωρίου είναι E=\int\limits_{-\rho }^{\rho }{f(x)dx} Τώρα από (Γ) είναι {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}\ne 0,\,\,\,x\in (-\rho ,\,\,\rho )

και λόγω συνέχειας της συνάρτησης {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}} θα έχει σταθερό πρόσημο στο διάστημα (-\rho ,\,\,\rho ) και για

0\in (-\rho ,\,\,\rho ) είναι {{e}^{0}}-0=1>0 άρα ισχύει ότι {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow {{e}^{-{{x}^{2}}}}>{{x}^{2}},\,\,\,x\in (-\rho ,\,\rho ) ή

{{e}^{-{{x}^{2}}}}\ge {{x}^{2}},\,\,\,x\in [-\rho ,\,\rho ] και ολοκληρώνοντας έχουμε ότι \int\limits_{-\rho }^{\rho }{f(x)dx}>\int\limits_{-\rho }^{\rho }{{{x}^{2}}dx}=\left[ \frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{-\rho }^{\rho }=\frac{2}{3}{{\rho }^{3}}

Επίσης f είναι παραγωγίσιμη με {f}'(x)=-2x{{e}^{-{{x}^{2}}}},\,\,\,x\in [-\rho ,\,\,\rho ] και

{f}'(x)=0\Leftrightarrow x=0,\,\,\,{f}'(x)<0\Leftrightarrow x>0,\,\,{f}'(x)>0\Leftrightarrow x<0,\, επομένως είναι f γνήσια αύξουσα

στο [-\rho ,\,\,0] και γνήσια φθίνουσα στο [0,\,\,\rho ] επομένως έχει μέγιστο το f(0)=1 οπότε ισχύει ότι

f(x)\le 1,\,\,\,x\in [-\rho ,\,\rho ] και κληρώνοντας ισχύει ότι \int\limits_{-\rho }^{\rho }{f(x)dx}<\int\limits_{-\rho }^{\rho }{dx}=2\rho

και τελικά είναι \frac{2}{3}{{\rho }^{3}}<E<2\rho διαφορετικό από αυτό του δημιουργού… :ewpu: .θα δείξει…

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Εφόσον f(x)>x^2 \Leftrightarrow f(0)>f(x)>x^2\geq \rho^{2}\Leftrightarrow 2\int_{0}^{\rho}f(0)dx>2\int_{0}^{\rho}f(x)dx>2\int_{0}^{\rho}\rho^2dx\Leftrightarrow 2\rho>E>2\rho^3


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3231
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Επαναληπτική 4/2018

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Απρ 25, 2018 10:44 am

Ratio έγραψε:
Τετ Απρ 25, 2018 10:34 am

Εφόσον f(x)>x^2 \Leftrightarrow f(0)>f(x)>x^2\geq \rho^{2}\Leftrightarrow 2\int_{0}^{\rho}f(0)dx>2\int_{0}^{\rho}f(x)dx>2\int_{0}^{\rho}\rho^2dx\Leftrightarrow 2\rho>E>2\rho^3
Για x\in (0,\rho ) ισχύει x^{2}< \rho ^{2}


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 256
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Επαναληπτική 4/2018

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τετ Απρ 25, 2018 10:56 am

Για το (Γ) μια άλλη προσέγγιση:

Θεωρούμε g(x)=e^{-x^2}-x^2
με g'(x)=-2xe^{-x^2}-2x=-2x(e^{-x^2}+1)
όπου g'(x)>0 , x\in(-\infty,0) και g'(x)<0, x\in (0,\infty) και  g'(x)=0 , x=0 \\
άρα η g(x) είναι γνησίως αύξουσα  x\in (-\infty,0)[ και γνησίως φθίνουσα για x \in (0,\infty) , παρουσιάζοντας μέγιστο για x=0 την τιμή  g(0)=1
Επομένως έχει δύο ρίζες  x_{1} \in (-\infty,0) και x_{2} \in (-0,\infty)

Η g(x) είναι άρτια, αφού x_{1} \in (-\infty,0)
, οπότε g(-x_{1})=g(x_{1}) , επειδή οι ρίζες ειναι μοναδικές λόγω μονοτονίας , είναι αντίθετες
τελευταία επεξεργασία από Ratio σε Τετ Απρ 25, 2018 11:27 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9681
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαναληπτική 4/2018

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 25, 2018 11:13 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Απρ 25, 2018 10:04 am

...Αν γινόταν ένα σχήμα και οι δύο ανισότητες για το ολοκλήρωμα θα ήταν φανερές.
Καλημέρα Σταύρο, Καλημέρα σε όλους!
4.2018.png
4.2018.png (13.23 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Απρ 25, 2018 11:27 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 256
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Επαναληπτική 4/2018

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τετ Απρ 25, 2018 11:21 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Απρ 25, 2018 10:44 am
Ratio έγραψε:
Τετ Απρ 25, 2018 10:34 am

Εφόσον f(x)>x^2 \Leftrightarrow f(0)>f(x)>x^2\geq \rho^{2}\Leftrightarrow 2\int_{0}^{\rho}f(0)dx>2\int_{0}^{\rho}f(x)dx>2\int_{0}^{\rho}\rho^2dx\Leftrightarrow 2\rho>E>2\rho^3
Για x\in (0,\rho ) ισχύει x^{2}< \rho ^{2}
Ναι, εχετε δίκιο κάπου το μπέρδεψα , αποσύρω την απάντηση :oops:


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 256
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Επαναληπτική 4/2018

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τετ Απρ 25, 2018 11:22 am

Ratio έγραψε:
Τετ Απρ 25, 2018 10:34 am
KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Τετ Απρ 25, 2018 1:01 am
M.S.Vovos έγραψε:
Δευ Απρ 23, 2018 11:29 pm
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^{\ast } με f(0)=1, τέτοια ώστε για κάθε x\in \mathbb{R} να ισχύει:

\displaystyle{f'(x)\left ( 1+\frac{1}{f(x)} \right )=-2x\left ( e^{-x^{2}}+1 \right )}
  • Να αποδείξετε ότι \displaystyle f(x)+\ln \left (f(x)  \right )=e^{-x^{2}}-x^{2}, για κάθε x\in \mathbb{R}.
  • Να προσδιορίσετε τον τύπο της f.

    Για τα ερωτήματα υπόλοιπα ερωτήματα δίνεται ότι \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}, x\in \mathbb{R}.
  • Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle f(x)=x^{2} έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίθετες.
  • Αν \rho η μεγαλύτερη από τις δύο ρίζες του προηγούμενου ερωτήματος, να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν E του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=-\rho και x=\rho ισχύει:
    \displaystyle{2\rho ^{3}<E<2\rho }
Φιλικά,
Μάριος


...συνέχεια της λύσης του φίλου μου του Σταμάτη....

Γ) Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση f(x)={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}=0 έχει δύο ακριβώς ρίζες.

Γι αυτό θεωρούμε την συνάρτηση g(x)={{e}^{-x}}-x,\,\,\,x\in R

που είναι συνεχής με g(0)=1>0,\,\,\,\,g(1)=\frac{1}{e}-1<0 άρα ισχύει g(0)g(1)<0 και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano

υπάρχει {{x}_{0}}\in (0,\,1) που g({{x}_{0}})=0 που είναι και μοναδικό αφού είναι

{g}'(x)=-{{e}^{-x}}-1<0,\,\,\,x\in R άρα η g είναι γνήσια φθίνουσα στο R οπότε και '1-1' και η εξίσωση

{{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow g({{x}^{2}})=g({{x}_{0}})\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{x}_{0}}\Leftrightarrow x=-\sqrt{{{x}_{0}}},\,\,x=\sqrt{{{x}_{0}}}

που σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)={{x}^{2}} έχει ακριβώς δύο ρίζες μία την-\rho =-\sqrt{{{x}_{0}}} και μία την \rho =\sqrt{{{x}_{0}}}\in (0,\,1)

Δ) Το εμβαδό του χωρίου είναι E=\int\limits_{-\rho }^{\rho }{f(x)dx} Τώρα από (Γ) είναι {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}\ne 0,\,\,\,x\in (-\rho ,\,\,\rho )

και λόγω συνέχειας της συνάρτησης {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}} θα έχει σταθερό πρόσημο στο διάστημα (-\rho ,\,\,\rho ) και για

0\in (-\rho ,\,\,\rho ) είναι {{e}^{0}}-0=1>0 άρα ισχύει ότι {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow {{e}^{-{{x}^{2}}}}>{{x}^{2}},\,\,\,x\in (-\rho ,\,\rho ) ή

{{e}^{-{{x}^{2}}}}\ge {{x}^{2}},\,\,\,x\in [-\rho ,\,\rho ] και ολοκληρώνοντας έχουμε ότι \int\limits_{-\rho }^{\rho }{f(x)dx}>\int\limits_{-\rho }^{\rho }{{{x}^{2}}dx}=\left[ \frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{-\rho }^{\rho }=\frac{2}{3}{{\rho }^{3}}

Επίσης f είναι παραγωγίσιμη με {f}'(x)=-2x{{e}^{-{{x}^{2}}}},\,\,\,x\in [-\rho ,\,\,\rho ] και

{f}'(x)=0\Leftrightarrow x=0,\,\,\,{f}'(x)<0\Leftrightarrow x>0,\,\,{f}'(x)>0\Leftrightarrow x<0,\, επομένως είναι f γνήσια αύξουσα

στο [-\rho ,\,\,0] και γνήσια φθίνουσα στο [0,\,\,\rho ] επομένως έχει μέγιστο το f(0)=1 οπότε ισχύει ότι

f(x)\le 1,\,\,\,x\in [-\rho ,\,\rho ] και κληρώνοντας ισχύει ότι \int\limits_{-\rho }^{\rho }{f(x)dx}<\int\limits_{-\rho }^{\rho }{dx}=2\rho

και τελικά είναι \frac{2}{3}{{\rho }^{3}}<E<2\rho διαφορετικό από αυτό του δημιουργού… :ewpu: .θα δείξει…

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης