Με απλά υλικά (7)

#1

Η συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle [-6,5]$ και ισχύει $\displaystyle f(-2)=7$ .
Η γραφική παράσταση της $\displaystyle {f}'(x)$ αποτελείται από τρία ευθύγραμμα τμήματα και ένα ημικύκλιο , όπως στο σχήμα .
Α) Υπολογίσετε τα $\displaystyle f(-6),f(5)$
Β) Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της $\displaystyle f$ και τα ολικά ακρότατα .
Γ) Υπολογίστε ,αν υπάρχουν , τις τιμές $\displaystyle {f}''(-5),{f}''(3)$

#2

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 26, 2018 3:44 pm
Η συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle [-6,5]$ και ισχύει $\displaystyle f(-2)=\pi$ .
Η γραφική παράσταση της $\displaystyle {f}'(x)$ αποτελείται από τρία ευθύγραμμα τμήματα και ένα ημικύκλιο , όπως στο σχήμα .
Α) Υπολογίσετε τα $\displaystyle f(-6),f(5)$
Β) Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της $\displaystyle f$ και τα ολικά ακρότατα .
Γ) Υπολογίστε ,αν υπάρχουν , τις τιμές $\displaystyle {f}''(-5),{f}''(3)$

...Καλησπέρα Γιώργη με τα ωραία σου και Χρόνια Πολλά για τη γορτή σου...

...μιά λύση για το Α...

Α) Σύμφωνα με την υπόθεση και το γράφημα είναι ${f}'(x)=\lambda x+\kappa ,\,\,\,x\in [-6,\,-2]$ με ${f}'(-6)=2,\,\,{f}'(-2)=0$ οπότε

$-6\lambda +\kappa =2,\,\,\,-2\lambda +\kappa =0$ και λύνοντας το σύστημα έχουμε ότι $\lambda =-\frac{1}{2},\,\,\kappa =-1$ άρα

${f}'(x)=-\frac{1}{2}x-1,\,\,\,x\in [-6,\,-2]$ ή $f(x)=-\frac{1}{4}{{x}^{2}}-x+c,\,\,\,x\in [-6,\,-2]$ και επειδή $f(-2)=\pi$

$-\frac{1}{4}4+2+c=\pi \Leftrightarrow c=\pi -1$ άρα $f(x)=-\frac{1}{4}{{x}^{2}}-x+\pi -1,x\in [-6,-2]$ (1) και τότε $f(-6)=\pi -4$

Ανάλογα είναι ${f}'(x)=ax+\beta ,\,\,\,x\in [3,\,5]$ με ${f}'(3)=2,\,\,{f}'(5)=0$ οπότε $3a+\beta =2,\,\,\,5\alpha +\beta =0$ και

λύνοντας το σύστημα έχουμε ότι $a=-1,\,\,\beta =5$ άρα ${f}'(x)=-x+5,\,\,\,x\in [3,\,5]$ και τότε

$f(x)=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+5x+{{c}_{1}},\,\,\,x\in [3,\,5]$ (2)

Ακόμη είναι ${f}'(x)=ax+\beta ,\,\,\,x\in [2,\,3]$ με ${f}'(3)=2,\,\,{f}'(2)=0$ οπότε $3a+\beta =2,\,\,\,2\alpha +\beta =0$

και λύνοντας το σύστημα έχουμε ότι $a=2,\,\,\beta =-4$ άρα ${f}'(x)=2x-4,\,\,\,x\in [2,\,3]$

και τότε $f(x)={{x}^{2}}-4x+{{c}_{2}},\,\,\,x\in [2,\,3]$ (3)

Επίσης σύμφωνα με την υπόθεση και το σχήμα στο διάστημα [-2,2]

αποτελείται από

το ημικύκλιο του κύκλου ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4,\,\,\,y\le 0$ άρα είναι ${f}'(x)=-\sqrt{4-{{x}^{2}}},\,\,\,\,x\in [-2,\,2]$

και τότε το εμβαδό του ημικύκλιου ως γνωστόν θα είναι $E=\frac{\pi {{\rho }^{2}}}{2}=\frac{\pi 4}{2}=2\pi$

και αυτό θα είναι ίσο με $\int\limits_{-2}^{2}{|{f}'(x)|dx}$ δηλαδή θα ισχύει ότι

$f(2)-f(-2)=-2\pi$ και επειδή $f(-2)=\pi$ προκύπτει ότι

$f(2)-\pi =-2\pi \Leftrightarrow f(2)=-\pi$ και τότε από (3) $f(2)={{c}_{2}}-4$

άρα $-\pi ={{c}_{2}}-4\Leftrightarrow {{c}_{2}}=4-\pi$ και τότε $f(x)={{x}^{2}}-4x+4-\pi ,x\in [2,3]$ οπότε $f(3)=1-\pi$ και

από (2) $f(3)=\frac{21}{2}+{{c}_{1}}$ άρα $1-\pi =\frac{21}{2}+{{c}_{1}}\Leftrightarrow {{c}_{1}}=-\frac{19}{2}-\pi$

επομένως $f(x)=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+5x-\frac{19}{2}-\pi ,x\in [3,5]$ και τελικά $f(5)=3-\pi$

...επανέρχομαι για τα άλλα....

Β) Σύμφωνα με το σχήμα είναι η ${f}'(x)>0,\,\,\,x\in (-5,\,-2)\cup (2,\,5)$ άρα

η

γνήσια αύξουσα στα διαστήματα $[-5,\,-2],\,\,[2,\,5]$ και

${f}'(x)<0,\,\,\,x\in (-2,\,2)$ άρα η

γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $[-2,\,2]$ άρα έχει τοπικά μέγιστα τα

$f(-2)=\pi ,f(5)=3-\pi$ και τοπικά ελάχιστα $f(-6)=4-\pi ,f(2)=-\pi$

και τα $f(-2)=\pi ,f(2)=-\pi$ να είναι και ολικά.

Γ) Αφού ${f}'(x)=-\frac{1}{2}x-1,\,\,\,x\in [-6,\,-2]$ είναι ${f}''(x)=-\frac{1}{2},x\in (-6,-2)$ άρα ${f}''(-3)=-\frac{1}{2}$ και τώρα είναι

${f}'(x)=2x-4,\,\,\,x\in [2,\,3]$ και ${f}'(x)=-x+5,\,\,\,x\in [3,\,5]$ οπότε

$\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)-{f}'(3)}{x-3}=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-4-2}{x-3}=2$ και

$\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)-{f}'(3)}{x-3}=\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+5-2}{x-3}=-1$

και αφού $2\ne -1$ δεν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο

...πήγα να φτιάξω την συνάρτηση κατασκευής στο θέμα του Γιώργη και για να είναι εντάξει με την υπόθεση

άλλαξα αριθμητικά δεδομένα για να είναι οκ όπως φαίνεται στο σχήμα...

: ΑΠΛΑ ΥΛΙΚΑ 7.jpg (34.02 KiB) Προβλήθηκε 1104 φορές

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Παρ Απρ 27, 2018 12:47 am

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 26, 2018 3:44 pm
Η συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle [-6,5]$ και ισχύει $\displaystyle f(-2)=\pi$ .
Η γραφική παράσταση της $\displaystyle {f}'(x)$ αποτελείται από τρία ευθύγραμμα τμήματα και ένα ημικύκλιο , όπως στο σχήμα .
Α) Υπολογίσετε τα $\displaystyle f(-6),f(5)$
Β) Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της $\displaystyle f$ και τα ολικά ακρότατα .
Γ) Υπολογίστε ,αν υπάρχουν , τις τιμές $\displaystyle {f}''(-5),{f}''(3)$
...Καλησπέρα Γιώργη με τα ωραία σου και Χρόνια Πολλά για τη γορτή σου...

...μιά λύση για το Α...

Α) Σύμφωνα με την υπόθεση και το γράφημα είναι ${f}'(x)=\lambda x+\kappa ,\,\,\,x\in [-6,\,-2]$ με ${f}'(-6)=2,\,\,{f}'(-2)=0$ οπότε

$-6\lambda +\kappa =2,\,\,\,-2\lambda +\kappa =0$ και λύνοντας το σύστημα έχουμε ότι $\lambda =-\frac{1}{2},\,\,\kappa =-1$ άρα

${f}'(x)=-\frac{1}{2}x-1,\,\,\,x\in [-6,\,-2]$ ή $f(x)=-\frac{1}{4}{{x}^{2}}-x+c,\,\,\,x\in [-6,\,-2]$ και επειδή $f(-2)=\pi$

$-\frac{1}{4}4+2+c=\pi \Leftrightarrow c=\pi -1$ άρα $f(x)=-\frac{1}{4}{{x}^{2}}-x+\pi -1,x\in [-6,-2]$ (1) και τότε $f(-6)=\pi -4$

Ανάλογα είναι ${f}'(x)=ax+\beta ,\,\,\,x\in [3,\,5]$ με ${f}'(3)=2,\,\,{f}'(5)=0$ οπότε $3a+\beta =2,\,\,\,5\alpha +\beta =0$ και

λύνοντας το σύστημα έχουμε ότι $a=-1,\,\,\beta =5$ άρα ${f}'(x)=-x+5,\,\,\,x\in [3,\,5]$ και τότε

$f(x)=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+5x+{{c}_{1}},\,\,\,x\in [3,\,5]$ (2)

Ακόμη είναι ${f}'(x)=ax+\beta ,\,\,\,x\in [2,\,3]$ με ${f}'(3)=2,\,\,{f}'(2)=0$ οπότε $3a+\beta =2,\,\,\,2\alpha +\beta =0$

και λύνοντας το σύστημα έχουμε ότι $a=2,\,\,\beta =-4$ άρα ${f}'(x)=2x-4,\,\,\,x\in [2,\,3]$

και τότε $f(x)={{x}^{2}}-4x+{{c}_{2}},\,\,\,x\in [2,\,3]$ (3)

Επίσης σύμφωνα με την υπόθεση και το σχήμα στο διάστημα αποτελείται από

το ημικύκλιο του κύκλου ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4,\,\,\,y\le 0$ άρα είναι ${f}'(x)=-\sqrt{4-{{x}^{2}}},\,\,\,\,x\in [-2,\,2]$

και τότε το εμβαδό του ημικύκλιου ως γνωστόν θα είναι $E=\frac{\pi {{\rho }^{2}}}{2}=\frac{\pi 4}{2}=2\pi$

και αυτό θα είναι ίσο με $\int\limits_{-2}^{2}{|{f}'(x)|dx}$ δηλαδή θα ισχύει ότι

$f(2)-f(-2)=-2\pi$ και επειδή $f(-2)=\pi$ προκύπτει ότι

$f(2)-\pi =-2\pi \Leftrightarrow f(2)=-\pi$ και τότε από (3) $f(2)={{c}_{2}}-4$

άρα $-\pi ={{c}_{2}}-4\Leftrightarrow {{c}_{2}}=4-\pi$ και τότε $f(x)={{x}^{2}}-4x+4-\pi ,x\in [2,3]$ οπότε $f(3)=1-\pi$ και

από (2) $f(3)=\frac{21}{2}+{{c}_{1}}$ άρα $1-\pi =\frac{21}{2}+{{c}_{1}}\Leftrightarrow {{c}_{1}}=-\frac{19}{2}-\pi$

επομένως $f(x)=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+5x-\frac{19}{2}-\pi ,x\in [3,5]$ και τελικά $f(5)=3-\pi$

...επανέρχομαι για τα άλλα....

Β) Σύμφωνα με το σχήμα είναι η ${f}'(x)>0,\,\,\,x\in (-5,\,-2)\cup (2,\,5)$ άρα

η γνήσια αύξουσα στα διαστήματα $[-5,\,-2],\,\,[2,\,5]$ και

${f}'(x)<0,\,\,\,x\in (-2,\,2)$ άρα η γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $[-2,\,2]$ άρα έχει τοπικά μέγιστα τα

$f(-2)=\pi ,f(5)=3-\pi$ και τοπικά ελάχιστα $f(-6)=4-\pi ,f(2)=-\pi$

και τα $f(-2)=\pi ,f(2)=-\pi$ να είναι και ολικά.

Γ) Αφού ${f}'(x)=-\frac{1}{2}x-1,\,\,\,x\in [-6,\,-2]$ είναι ${f}''(x)=-\frac{1}{2},x\in (-6,-2)$ άρα ${f}''(-3)=-\frac{1}{2}$ και τώρα είναι

${f}'(x)=2x-4,\,\,\,x\in [2,\,3]$ και ${f}'(x)=-x+5,\,\,\,x\in [3,\,5]$ οπότε

$\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)-{f}'(3)}{x-3}=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-4-2}{x-3}=2$ και

$\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)-{f}'(3)}{x-3}=\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+5-2}{x-3}=-1$

και αφού $2\ne -1$ δεν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο

...πήγα να φτιάξω την συνάρτηση κατασκευής στο θέμα του Γιώργη και για να είναι εντάξει με την υπόθεση

άλλαξα αριθμητικά δεδομένα για να είναι οκ όπως φαίνεται στο σχήμα

ΑΠΛΑ ΥΛΙΚΑ 7.jpg (34.02 KiB) Προβλήθηκε 1104 φορές

...και μου λέει ένας μαθητής μου σήμερα...δεν χρειάζεται κύριε να βρούμε το τύπο της συνάρτησης....

Το εμβαδό του τριγώνου με κορυφές τασημεία $A(-6,\,2),\,B(-6,\,0),\,C(-2,\,0)$ είναι ίσο με το ολοκλήρωμα

$\int\limits_{-6}^{-2}{|{f}'(x)|dx\overset{{f}'(x)>0}{\mathop{=}}\,}\int\limits_{-6}^{-2}{{f}'(x)dx}=\left[ f(x) \right]_{-6}^{-2}=f(-2)-f(-6)=\pi -f(-6)$

δηλαδή ισχύει $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=\pi -f(-6)\Leftrightarrow f(-6)=\pi -4$

Το εμβαδό του ημικυκλίου είναι $\frac{\pi {{\rho }^{2}}}{2}=\int\limits_{-2}^{2}{|{f}'(x)|dx\overset{{f}'(x)<0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,}\frac{\pi {{2}^{2}}}{2}=-\int\limits_{-2}^{2}{{f}'(x)dx}\Leftrightarrow$

$2\pi =\left[ f(x) \right]_{-2}^{2}=f(2)-f(-2)=\pi -f(-2)\Leftrightarrow f(-2)=-\pi$

Το εμβαδό του τριγώνου με κορυφές τασημεία $D(2,0),\,F(3,\,2),\,G(5,\,0)$ είναι ίσο με το ολοκλήρωμα

$\int\limits_{2}^{5}{|{f}'(x)|dx\overset{{f}'(x)>0}{\mathop{=}}\,}\int\limits_{2}^{5}{{f}'(x)dx}=\left[ f(x) \right]_{2}^{5}=f(5)-f(2)=f(5)+\pi$

δηλαδή ισχύει $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=f(5)+\pi \Leftrightarrow f(5)=3-\pi$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Με απλά υλικά (7)

Με απλά υλικά (7)

Re: Με απλά υλικά (7)

Re: Με απλά υλικά (7)

Μέλη σε σύνδεση