Επαναληπτική

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Επαναληπτική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Μάιος 25, 2018 1:30 pm

Δίνεται η συνεχής στο \displaystyle x = 0 συνάρτηση \displaystyle f για την οποία γνωρίζουμε ότι :
\displaystyle \frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x-1)+1,x\ne 0
α. Να δείξετε ότι \displaystyle f(x)={{e}^{x}}({{x}^{2}}-x)+x,\,\,\,x\in R
β. Να δείξετε ότι η \displaystyle f αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
γ. Να δείξετε ότι τα μοναδικά σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων της \displaystyle f και της \displaystyle {f^{ - 1}} είναι αυτά που βρίσκονται πάνω στην ευθεία \displaystyle y = x .
δ. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείουν οι γραφικές παραστάσεις των \displaystyle f και \displaystyle {f^{ - 1}} .

Από μια επαναληπτική συλλογή του Κ. Σερίφη


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4448
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Μάιος 25, 2018 5:28 pm

exdx έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 1:30 pm
Δίνεται η συνεχής στο \displaystyle x = 0 συνάρτηση \displaystyle f για την οποία γνωρίζουμε ότι :
\displaystyle \frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x-1)+1,x\ne 0
α. Να δείξετε ότι \displaystyle f(x)={{e}^{x}}({{x}^{2}}-x)+x,\,\,\,x\in R

Από μια επαναληπτική συλλογή του Κ. Σερίφη
Ξεκινάω με αυτό το ερώτημα μιας και μου κέντρισε το ενδιαφέρον. Επειδή η σχέση ισχύει για κάθε x \neq 0 δε μπορεί παρά το όριο  \lim \limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{x} να είναι πραγματικός αριθμός. Ας τον συμβολίσουμε με \ell. Τότε,

\displaystyle{\frac{f(x)}{x} - \frac{\ell}{x} = e^x \left ( x-1 \right ) + 1  \Rightarrow f(x) = e^x \left ( x^2-x \right ) + x + \ell \quad \text{\gr για κάθε} \; x \neq 0}
Επιπλέον αν θέσουμε g(x) = \frac{f(x)}{x} κοντά στο x=0 τότε \lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x)=\ell. Συνεπώς:

\displaystyle{g(x) = \frac{f(x)}{x}\Rightarrow f(x) = x g(x) \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0} x g(x) = 0 \cdot \ell =0 }
Εφόσον η f είναι συνεχής στο x_0=0 έπεται ότι f(0)=0. Συνεπώς,

\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} 
e^x \left ( x^2-x \right )+x + \ell & , & x \neq 0 \\  
0 & , &  x =0  
\end{matrix}\right.}
Λόγω συνέχειας δε μπορεί παρά \ell=0. Ο τύπος της f έπεται.


Για τα υπόλοιπα ερωτήματα δε βλέπω κάποια δυσκολία. Θα επιστρέψω αν δεν απαντηθούν από κάποιο άλλο μέλος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9799
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαναληπτική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 25, 2018 6:16 pm

exdx έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 1:30 pm
Δίνεται η συνεχής στο \displaystyle x = 0 συνάρτηση \displaystyle f για την οποία γνωρίζουμε ότι :
\displaystyle \frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x-1)+1,x\ne 0
α. Να δείξετε ότι \displaystyle f(x)={{e}^{x}}({{x}^{2}}-x)+x,\,\,\,x\in R


γ. Να δείξετε ότι τα μοναδικά σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων της \displaystyle f και της \displaystyle {f^{ - 1}} είναι αυτά που βρίσκονται πάνω στην ευθεία \displaystyle y = x .
δ. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείουν οι γραφικές παραστάσεις των \displaystyle f και \displaystyle {f^{ - 1}} .

Από μια επαναληπτική συλλογή του Κ. Σερίφη

Επεξεργασία: Διέγραψα την απάντηση γιατί έγινε ντόμινο, από λάθος υπολογισμό παραγώγου και όλα τα ερωτήματα βγήκαν λάθος. Είχα γράψει e^x(x^2+x+1)+1 αντί του σωστού e^x(x^2+x-1)+1.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Μάιος 25, 2018 7:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 352
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Επαναληπτική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Παρ Μάιος 25, 2018 6:29 pm

exdx έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 1:30 pm
Δίνεται η συνεχής στο \displaystyle x = 0 συνάρτηση \displaystyle f για την οποία γνωρίζουμε ότι :
\displaystyle \frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x-1)+1,x\ne 0
α. Να δείξετε ότι \displaystyle f(x)={{e}^{x}}({{x}^{2}}-x)+x,\,\,\,x\in R
β. Να δείξετε ότι η \displaystyle f αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
γ. Να δείξετε ότι τα μοναδικά σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων της \displaystyle f και της \displaystyle {f^{ - 1}} είναι αυτά που βρίσκονται πάνω στην ευθεία \displaystyle y = x .
δ. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείουν οι γραφικές παραστάσεις των \displaystyle f και \displaystyle {f^{ - 1}} .

Από μια επαναληπτική συλλογή του Κ. Σερίφη
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
α) Είναι \displaystyle \frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x-1)+1 \Leftrightarrow
\displaystyle f(x)-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x^2-x)+x (1)
Αφού \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left [ e^x(x^2-x)+x \right ]=0 συμπεραίνουμε ότι \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left [f(x)-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x} \right ]=0 .
Το \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x} υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.
Άρα ισχύει \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{x}=0 \Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x) =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{x} \Leftrightarrow f(0)= \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{x} (2) .

Θεωρώ g(x)=\dfrac{f(x)}{x} με \displaystyle \lim_{x \to 0}g(x)=f(0) .
Είναι f(x)=x g(x) . Άρα \displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)= \lim_{x \to 0}xg(x) =0\cdot f(0) = 0 .
Επειδή η f είναι συνεχής έχουμε \displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=  f(0) = 0 .

Από την (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι \displaystyle f(x)={{e}^{x}}({{x}^{2}}-x)+x,\,\,\,x\in R .

β) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με f'(x)= e^xx^2+xe^x-x+1 και f''(x)= e^x(x+3) .
Από πινακάκι κλπ. έχουμε f''(x)>0 ,\forall x\in (-\infty ,-3) \Rightarrow f' : γνησίως αύξουσα στο (-\infty ,-3] .
f''(x)<0 ,\forall x\in (-3 , 0) \Rightarrow f' : γνησίως φθίνουσα στο [-3,0] .
f''(x)>0 ,\forall x\in (0 , +\infty ) \Rightarrow f' : γνησίως αύξουσα στο [0,+\infty) .

Τώρα \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ e^x(x^2+x-1) +1\right ]=1,
αφού \displaystyle {\lim_{x\rightarrow -\infty }[ e^x(x^2+x-1)]= \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{x^2+x-1}{e^{-x}} = \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{2x+1}{-e^{-x}} = \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{2}{e^{-x}} =\lim_{x\rightarrow -\infty } 2e^x =0
Εφαρμόσαμε δύο φορές κανόνα de l' Hospital .
Επίσης \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ e^x(x^2+x-1) +1\right ]=+\infty .
Από τα παραπάνω προκύπτει :
  • f'\left ( (-\infty ,-3)] \right )= \left (1, 1+\frac{5}e^3 \right ]
  • f'\left [-3,0]] \right )= \left [0, 1+\frac{5}e^3 \right ]
  • f'\left ( [0, +\infty ) \right )= \left [0, +\infty  \right )

Άρα f'(x)>0, ,\forall x\in \mathbb{R}^{*} και επειδή f' : συνεχής στο \mathbb{R} η f είναι γνησίως αύξουσα , συνεπώς και 1-1.
Ομοίως με κανόνα de l' Hospital προκύπτει \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty και \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty .
Άρα f(\mathbb{R})=\mathbb{R}  .

γ) Είναι f(x)=f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(f(x))=f(f^{-1}(x)) \Leftrightarrow f(f(x))=x , αφού η f είναι 1-1.
Αρκεί να δείξω ότι οι εξισώσεις : f(f(x))=x (3) και f(x)=x (4) είναι ισοδύναμες.
Έστω x_o : ρίζα της (4) . Τότε ισχύει f(x_o)=x_o \Rightarrow f(f(x_o))=f(x_o)=x_o , δηλαδή x_o : ρίζα της (3) .
Έστω x_o : ρίζα της (3) . Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει f(x_o)=x_o .
Έστω f(x_o)\neq x_o .Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις .
i) f(x_o) >x_o . Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα ισχύει f(f(x_o))>f(x_o) , οπότε x_o> f(x_o) ΑΤΟΠΟ.
ii) f(x_o) <x_o . Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα ισχύει f(f(x_o))<f(x_o) , οπότε x_o< f(x_o) ΑΤΟΠΟ.
Άρα f(x_o)=x_o δηλαδή f(x)=f^{-1}(x)  \Leftrightarrow f(x)=x .
Άρα οι λύσεις της f(x)=f^{-1}(x) είναι οι x=0 , x=1 .

δ) Στο (0,1) η C_f : κυρτή. Άρα η y=x βρίσκεται πάνω από την C_f στο [0,1] .
Λόγω της συμμετρίας της f και της f^{-1} έχουμε :E=2\displaystyle\int_{0}^{1}\left ( x-f(x) \right )dx = ...2(3-e) με παραγοντική ολοκλήρωση.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Ωχ με πρόλαβαν. Την αφήνω απλά για τον κόπο της πληκτρολόγησης ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης