Έξοχο όριο

KARKAR · #1

Πως θα υπολογίζατε το : $\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\dfrac{sin2x-sinx}{e^{2x}-e^x}$ ;

perpant · #2

Καλημέρα

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {2x} \right) - \sin x}}{{{e^{2x}} - {e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{2x}} - \frac{{\sin x}}{x}}}{{{e^x}\frac{{{e^x} - 1}}{x}}} = \frac{{2 \cdot 1 - 1}}{{1 \cdot {f^\prime }\left( 0 \right)}} = 1$ ,

όπου $f\left( x \right) = {e^x}$ και ${f^\prime }\left( 0 \right) = 1$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 23, 2018 11:41 am
Πως θα υπολογίζατε το : $\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\dfrac{sin2x-sinx}{e^{2x}-e^x}$ ;

Καλό μεσημέρι!

Αρχικά με De l" Hospital είναι, $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{{e^x} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{{{e^x}}} = 1$ (1)

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x - \sin x}}{{{e^{2x}} - {e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x(2\cos x - 1)}}{{{e^x}({e^x} - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{{e^x} - 1}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\cos x - 1}}{{{e^x}}}\mathop = \limits^{(1)} 1 \cdot 1 = 1$

Είμαι σίγουρος ότι κάτι άλλο έχει στο νου του ο KARKAR.

#4

Για να το δούμε κι αλλιώς.
Γενικευμένο θεώρημα Μέσης Τιμής του Cauchy για τις συναρτήσεις $\displaystyle f(t) = \sin t,g(t) = {e^t}$ στο [x,2x].

#5

'Αμεσο από l' Hospital μέσω του $\dfrac{2\cos2x-\cos x}{2e^{2x}-e^x}\to \dfrac{2-1}{2-1}=1$

Έξοχο όριο

Έξοχο όριο

Re: Έξοχο όριο

Re: Έξοχο όριο

Re: Έξοχο όριο

Re: Έξοχο όριο

Μέλη σε σύνδεση