Εύρεση πεδίου ορισμού

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1150
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εύρεση πεδίου ορισμού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Δεκ 13, 2018 9:59 pm

Καλησπέρα σε όλους , ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στον συντονιστή του φακέλου και σε όσους γιόρταζαν χθες. Μια προσωπική κατασκευή :

Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο P(x)=x^{3}+ax+b ..x\in R όπου ισχύουν P(-7) > 0..P(7) < 0 και  2a+8b+1=0.

Ζητούμενο : Να βρεθεί το (ευρύτερο δυνατό) πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο f(x)=\left ( \left bx+b\right )^{x}-ln\left ( P\left ( e \right )\cdot x \right )

Ευχαριστώ εκ των προτέρων , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 237
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Εύρεση πεδίου ορισμού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Σάβ Δεκ 15, 2018 9:19 am

Διόρθωση


Χρησιμοποιώντας τη δοθείσα σχέση, βρίσκουμε εναλλακτική μορφή του πολυωνύμου  P(x) = 8x^3+8ax-2a-1

7^3+7a+b<0<-7^3-7a+b \Leftrightarrow a<-49

Αλλά επειδή  P(-7)>0 \Leftrightarrow a<\frac{-1-14^3}{58}
και P(7)<0 \Leftrightarrow a<\frac{1-14^3}{54}

Από τις τρεις σχέσεις a<\frac{-1-14^3}{58} \Leftrightarrow  a<-50

 8b=-2a-1 \Leftrightarrow 8b>49\Leftrightarrow b>\frac{49}{8} , για  a<-50

 P'(x)=3x^2+a <0 , x\in (-\sqrt{\frac{-a}{3}},\sqrt{\frac{-a}{3}})\Rightarrow P(x) \downarrow
 P''(x)=6x

 0<e<\sqrt{\frac{-a}{3}}<7 για a<-50

Για P(\sqrt{\frac{-a}{3}})=6\sqrt{\frac{-a}{3}} >0 ( κριτήριο β' παραγώγου για λόγους οικονομίας ) , άρα στο σημείο αυτό το πολυώνυμο παρουσιάζει ελάχιστο

Αν θεωρήσουμε το P(e)=e^3+8ae-2a-1=2(4e-2)a+e^3-1 πολυώνυμο του a , τότε \lim_{a\to-\infty} P(a)=-\infty
άρα
 P(e)<0

Επομένως για την δοθείσα συνάρτηση θα πρέπει \Leftrightarrow ={x\in R: x<0}

και προσθήκη, bx+b>0 \Leftrightarrow x>-1

οπότε A_{f}, x\in R: -1<x<0

Στη διορθωμένη γραφική παράσταση, φαίνεται πολυώνυμο P(x), για  a=-51 και  b = 7 και μια αντίστοιχη f

]Ευχαριστώ πολύ τον κύριο Χρήστο Ντάβο, για την επισήμανση
Συνημμένα
geogebra-export (2).png
geogebra-export (2).png (158.03 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές
τελευταία επεξεργασία από Ratio σε Κυρ Δεκ 16, 2018 10:02 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1150
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εύρεση πεδίου ορισμού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Δεκ 15, 2018 7:14 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ το μέλος Ratio για την ενασχόληση με το θέμα.
Όμως δεν βλέπω ορθή αιτιολόγηση της σχέσης P\left ( e \right )< 0 ..(πιθανόν το ίδιο να τονίζει και ο Χρήστος Ντάβος.)

Με την ευκαιρία ας διατυπώσω μια γενικότερη εκδοχή του προβλήματος :

Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο P(x)=x^{3}+ax+b ..x\in R με  2a+8b+1=0.

Αν υπάρχουν x_{1}< 0 με P(x_{1})> 0 και x_{2}> e με P(x_{2})< 0 τότε

Να εξεταστεί αν το (ευρύτερο δυνατό) πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο f(x)=\left ( \left bx+b\right )^{x}-ln\left ( P\left ( e \right )\cdot x \right ) είναι το διάστημα \left ( -1,0 \right )

Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 237
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Εύρεση πεδίου ορισμού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Κυρ Δεκ 16, 2018 10:48 am

Χωρίς συγκεκριμένα  x_{1},x_{2} λίγο δύσκολο να γίνει μελέτη, εκτός και αν τεθούν επιπλέον περιορισμοί για το  a

Έκανα μία πιο λεπτομερή προσέγγιση στην αρχική λύση , οπότε ως θεματοδότης ρίξτε της μια ματιά :mathexmastree:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1150
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εύρεση πεδίου ορισμού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Δεκ 16, 2018 10:34 pm

Καλό βράδυ. Αγαπητέ Ratio σ' ευχαριστώ και πάλι για τον νέο κόπο και την εν γένει αντιμετώπιση του θέματος.
Στη συνέχεια θα τονίσω τα απαραίτητα στοιχεία της προσπάθειας του Ratio με τις δέουσες διευκρινίσεις και προσθήκες

Δίνεται P\left ( 7 \right )< 0< P\left ( -7 \right )\Rightarrow 7^{3}+7a+b< -7^{3}-7a+b\Rightarrow \boxed{a< -49} τότε και 8b=-2a-1> 0\Rightarrow \boxed{b> 0}

P\left ( e \right )=e^{3}+ea-\dfrac{2a+1}{8}\Rightarrow 8P\left ( e \right )=\left ( 8e-2 \right )a+8e^{3}-1=g\left ( a \right )

Η g(x)=\left ( 8e-2 \right )x+8e^{3}-1 παριστάνει ευθεία με θετική κλίση (γν. αύξουσα ως συνάρτηση) άρα a< -49\Rightarrow g\left ( a \right )< g\left ( -49 \right )< 0\Rightarrow \boxed{P(e)< 0}

Για την συνάρτηση f πρέπει bx+b> 0\Rightarrow x> -1 αφού b>0 και P\left ( e \right )x> 0\Rightarrow x< 0 αφού P(e)<0.Τελικά πεδίο ορισμού το D_{f}=\left ( -1,0 \right )

Γίνεται φανερό πως φτάσαμε στο ζητούμενο - κυρίως χάρις στην προσπάθεια του Ratio- μόνο με σχολική ύλη έως και τη Β' λυκείου.
Μένει πλέον να αντιμετωπιστεί το γενικότερο θέμα που έθεσα παραπάνω.
Φιλικά Γιώργος


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 237
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Εύρεση πεδίου ορισμού

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Δευ Δεκ 17, 2018 10:13 am

Μα αυτή ήταν η αξία να λυθεί με σχολική ύλη.
Ένα άλλο ενδιαφέρον σημείο της άσκησης ( για μένα το πιο σημαντικό ) ήταν η αντικατάσταση που γινόταν στο  P(x) , έτσι ώστε να υπολογιστεί το πρόσημο του P(e) όπου πλέον έπρεπε να αντιμετωπιστεί ως συνάρτηση του  a


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες