Με απλά υλικά (17)

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ για την οποία ισχύουν : $\displaystyle f(0)=0$ και $\displaystyle f(x)\ge x{{e}^{x}}-x$ για κάθε $\displaystyle x\in R$ .
α) i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle {f}'(0)=0$ ii) Να υπολογίσετε το $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{e}^{x}}-1}$
β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται το $\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx$
Για τα επόμενα ερωτήματα δίνεται ότι : $\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx=e-2$
γ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle f(x)=x{{e}^{x}}-x$ για κάθε $\displaystyle x \in [0,1]$
δ) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f:[0,1]\to R$ αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης .
ε) Να εξετάσετε αν η $\displaystyle {{f}^{-1}}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle 0$ .
στ) Δίνεται ότι η $\displaystyle {{f}^{-1}}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle x=e-1$ . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στη γραφική παράσταση
της $\displaystyle {{f}^{-1}}$ , στο σημείο με τετμημένη $\displaystyle x=e-1$ .

#2

a.1

$\displaystyle{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\ge e^x-1}$ για $\displaystyle{x>0}$ τότε $\displaystyle{f'(0+)\ge e^0-1=0}$

$\displaystyle{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\le e^x-1}$ για $\displaystyle{x<0}$ τότε $\displaystyle{f'(0-)\le e^0-1=0}$

και $\displaystyle{f'(0+)=f'(0-)}$ άρα $\displaystyle{f'(0)=0}$
a.2

έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\to 0-}\frac{f(x)}{e^x-1}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\frac{x}{e^x-1}=0.1=0}$
b Θετω $\displaystyle{F(x)=\left\{\begin{matrix} f(x)/x,x\in (0,1]\\ 0,x=0 \end{matrix}\right.}$

Eύκολα $\displaystyle{F}$ συνεχής στο $\displaystyle{(0,1]}$ αλλά και στο 0 οπότε το ολοκλήρωμα είναι καλώς ορισμένο

γ.

$\displaystyle{\frac{f(x)}{x}\ge e^x-1}$ τοτε $\displaystyle{\int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx\ge e-2}$ συνεπώς $\displaystyle{f(x)=xe^x-x }$ αφου ισχύει το =

δ.
$\displaystyle{f(x)=x(e^x-1)}$ ευκολα f γν αυξουσα αρα 1-1 με $\displaystyle{f(0)=0,f(1)=e-1 }$ το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f^{-1}}$ είναι το $\displaystyle{[0,e-1]}$ kαι ο τυπος θα προκύψει αν λύσουμε ως προς x την $\displaystyle{y=x(e^x-1),y(0)=0 }$ που δεν είναι δυνατον

ε.
$\displaystyle{\lim_{x\to 0+}\frac{\frac{ x}{e^x-1}-0}{x-0}=+\infty}$ αρα δεν είναι παραγωγίσιμη

st.
$\displaystyle{f(1)=e-1}$ άρα $\displaystyle{f^{-1}(e-1)=1}$ , $\displaystyle{f'(e-1)f^{-1}'((e-1))=1}$

αρα $\displaystyle{ y-1=(e^e-1)(x-1)}$

Christos.N · #3

Έχω μια ερώτηση, τα άκρα ολοκλήρωσης του $\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx$ ανήκουν στο πεδίο ορισμού της $\displaystyle\frac{f(x)}{x}$ ;

: DeepinScreenshot_select-area_20190305233104.png (41.5 KiB) Προβλήθηκε 1725 φορές

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Christos.N έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 05, 2019 11:33 pm
Έχω μια ερώτηση, τα άκρα ολοκλήρωσης του $\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx$ ανήκουν στο πεδίο ορισμού της $\displaystyle\frac{f(x)}{x}$ ;

DeepinScreenshot_select-area_20190305233104.png

Έχει και το (ε) ένα θέμα. Για να υπολογιστεί το $\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(0)}{y-0}$

χρειάζεται η συνέχεια της $f^{-1}$ στο

ώστε να μπορέσει να λειτουργήσει η αλλαγή μεταβλητής

$x=f^{-1}(y)$ δηλαδή $f^{-1}(y)\rightarrow f^{-1}(0)=0\Rightarrow x\rightarrow 0$ .

H συνθήκη $f^{-1}(y)\neq 0$ κοντά στο

είναι προφανής.

#5

καλώς ορισμένο είναι το $\displaystyle{\int_{0}^{1}{Fdx}}$ αλλά $\displaystyle{\int_{0}^{1}{F(x)dx}=\int_{0}^{1}{f(x)/xdx}}$ εφ οσον διαφέρουν το πολύ σε μια τιμή(F η συνεχής επέκταση της f/x)

Ηλίας Θ. · #6

Christos.N έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 05, 2019 11:33 pm
Έχω μια ερώτηση, τα άκρα ολοκλήρωσης του $\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx$ ανήκουν στο πεδίο ορισμού της $\displaystyle\frac{f(x)}{x}$ ;

DeepinScreenshot_select-area_20190305233104.png

Θεωρώ τη συνάρτηση $\phi (x)=\begin{cases} \dfrac{f(x)}{x},\;x>0 \\ \; \; \; 0,\;x=0 \end{cases}$ . Η οποία από τα προηγούμενα είναι συνεχής.

Λάμπρος Κατσάπας · #7

Ηλίας Θ. έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2019 3:18 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 05, 2019 11:33 pm
Έχω μια ερώτηση, τα άκρα ολοκλήρωσης του $\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx$ ανήκουν στο πεδίο ορισμού της $\displaystyle\frac{f(x)}{x}$ ;

DeepinScreenshot_select-area_20190305233104.png
Θεωρώ τη συνάρτηση $\phi (x)=\begin{cases} \dfrac{f(x)}{x},\;x>0 \\ \; \; \; 0,\;x=0 \end{cases}$ . Η οποία από τα προηγούμενα είναι συνεχής.

Σωστό αυτό αλλά θα πρέπει να εξηγηθεί σε σχολικά πλαίσια, μιας και η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές, γιατί ''γεμίζοντας την τρύπα'' στο μηδέν το ολοκλήρωμα παραμένει ίδιο.

Christos.N · #8

Ηλίας Θ. έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2019 3:18 pm

Θεωρώ τη συνάρτηση $\phi (x)=\begin{cases} \dfrac{f(x)}{x},\;x>0 \\ \; \; \; 0,\;x=0 \end{cases}$ . Η οποία από τα προηγούμενα είναι συνεχής.

R BORIS έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 05, 2019 1:31 pm

b Θετω $\displaystyle{F(x)=\left\{\begin{matrix} f(x)/x,x\in (0,1]\\ 0,x=0 \end{matrix}\right.}$

Και στις δύο περιπτώσεις υπολογίζετε τα $\displaystyle \int_{0}^{1} F(x)\,\,dx$ και $\displaystyle \int_{0}^{1} \phi(x)\,\,dx$ και όχι το ζητούμενο που είναι το $\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx$ το οποίο τελευταίο όλοι ξέρουμε ότι είναι γενικευμένο β' είδους και είναι ίσο με $\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0^+} \int_{y}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx$ .

Σταμ. Γλάρος · #9

exdx έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 9:50 pm
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ για την οποία ισχύουν : $\displaystyle f(0)=0$ και $\displaystyle f(x)\ge x{{e}^{x}}-x$ για κάθε $\displaystyle x\in R$ .
α) i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle {f}'(0)=0$ ii) Να υπολογίσετε το $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{e}^{x}}-1}$
β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται το $\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx$
Για τα επόμενα ερωτήματα δίνεται ότι : $\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx=e-2$
γ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle f(x)=x{{e}^{x}}-x$ για κάθε $\displaystyle x \in [0,1]$
δ) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f:[0,1]\to R$ αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης .
ε) Να εξετάσετε αν η $\displaystyle {{f}^{-1}}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle 0$ .
στ) Δίνεται ότι η $\displaystyle {{f}^{-1}}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle x=e-1$ . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στη γραφική παράσταση
της $\displaystyle {{f}^{-1}}$ , στο σημείο με τετμημένη $\displaystyle x=e-1$ .

Καλησπέρα Γιώργη. Νομίζω ότι το πρώτο υποερώτημα βγαίνει και με θεώρημα Fermat.
Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-xe^x+x

παραγωγίσιμη με g'(x)= f'(x)-e^x-xe^x+1

.
Ισχύει $g(x)\geq g(0)=0$ . Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat .
Επομένως έχουμε g'(0)=0

δηλαδή

.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Με απλά υλικά (17)

Με απλά υλικά (17)

Re: Με απλά υλικά (17)

Re: Με απλά υλικά (17)

Re: Με απλά υλικά (17)

Re: Με απλά υλικά (17)

Re: Με απλά υλικά (17)

Re: Με απλά υλικά (17)

Re: Με απλά υλικά (17)

Re: Με απλά υλικά (17)

Μέλη σε σύνδεση