Με απλά υλικά (19)

#1

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}},x\in R$ .
α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle f$ και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση .
γ) Να βρείτε τις εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης που διέρχονται από το σημείο $\displaystyle A(0,1)$
δ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \frac{3}{2}<\int\limits_{-1}^{1}{\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}}<\frac{5}{3}$

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 14, 2019 8:54 am
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}},x\in R$ .
α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle f$ και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση .
γ) Να βρείτε τις εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης που διέρχονται από το σημείο $\displaystyle A(0,1)$
δ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \frac{3}{2}<\int\limits_{-1}^{1}{\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}}<\frac{5}{3}$

(α) Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο $\displaystyle{f'(x) = - \frac{2x}{\left ( x^2+1 \right )^2}}$ . Συνεπώς είναι γνήσια αύξουσα στο $(-\infty, 0]$ και γνήσια φθίνουσα στο $[0, +\infty)$ . Άρα στο x_0=0

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f(0)=1

. Επιπλέον, η

είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο $\displaystyle{f''(x)=\frac{2\left ( 3x^2-1 \right )}{\left ( x^2+1 \right )^3}}$ . Είναι

$\displaystyle{f''(x)=0 \Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}}$
και επιπλέον εύκολα βλέπουμε ότι $f''(x) \geq 0\Leftrightarrow x\in \left ( -\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right ]\cup\left [ \frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty \right )$ . Άρα η

είναι κοίλη στο $\left [ -\frac{1}{\sqrt{3}} , \frac{1}{\sqrt{3}} \right ]$ και κυρτή στο $\left ( -\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right ]$ και στο $\left [ \frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty \right )$ . Άρα στα σημεία $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ παρουσιάζει η $\mathcal{C}_f$ σημείο καμπής. Είναι $\displaystyle{f\left ( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right ) = f \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) = \frac{3}{4}}$ .

(β) Ως συνεχής συνάρτηση η $\mathcal{C}_f$ δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Επειδή $\displaystyle{\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) =0}$ και $\displaystyle{\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0}$ συμπεραίνουμε ότι η $\mathcal{C}_f$ έχει τον άξονα x'x

οριζόντια ασύμπτωτη τόσο στο $+\infty$ όσο και στο $-\infty$ .

(γ) Το σημείο $(0, 1) \in \mathcal{C}_f$ . Μία εφαπτομένη της $\mathcal{C}_f$ που διέρχεται από το σημείο αυτό είναι η y=1

. Θα ελέγξουμε αν υπάρχουν άλλες. Έστω $x_0 \neq 0$ . Τότε η εφαπτομένη στο σημείο αυτό έχει εξίσωση:

$\displaystyle{y-f(x_0) = f'(x_0) \left( x -x_0 \right)}$
Όμως το (0, 1)

επαληθεύει την εξίσωση της εφαπτομένης , συνεπώς:

$\displaystyle{\begin{aligned} 1-f(x_0) = -f'(x_0)\cdot x_0 &\Leftrightarrow 1- \frac{1}{1+x_0^2} = \frac{2x_0^2}{\left ( 1+x_0^2 \right )^2} \\ &\Leftrightarrow 1+x_0^2 -1 = \frac{2x_0^2}{1+x_0^2} \\ &\Leftrightarrow x_0^2 =\frac{2x_0^2}{1+x_0^2} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\overset{x_0 \neq 0}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! \Rightarrow } 1+x_0^2= 2 \\ &\Leftrightarrow x_0^2 = 1\\ &\Leftrightarrow x_0= \pm 1 \end{aligned}}$
Άρα και η εφαπτομένη στο $x_0=\pm 1$ διέρχεται από το (0, 1)

. Αυτή η εφαπτομένη έχει εξίσωση:

$\displaystyle{y-f(\pm1) = f'(1) \left ( x \mp1 \right )\Leftrightarrow y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\left ( x\mp1 \right )$
(δ) Κάνοντας την αντικατάσταση $x=\tan \theta$ έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} &\overset{x=\tan \theta}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan^2 \theta} \sec^2 \theta \, \mathrm{d} \theta \\ &=\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \, \mathrm{d}\theta \\ &=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \\ &=\frac{\pi}{2} \end{aligned}}$
Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι $1.5=\frac{3}{2} < \frac{\pi}{2}< \frac{5}{3} \approx 1.66$ . Όμως επειδή $\pi \approx 3.14$ έχουμε $\displaystyle{\frac{\pi}{2} \approx 1.57}$ και το ζητούμενο έπεται.

Την ίδια συνάρτηση παλιά την έχουμε δει εδώ με διαφορετικά ερωτήματα.

#3

έψαχνα εναλλακτικούς τρόπους για το δ προκειμένου να αποφύγουμε τον μετ/μό $\displaystyle{x=Tan\theta}$

1) Σκέφτηκα μήπως η ευθεία $\displaystyle{(E)y=1-x/2}$ αφήνει απ΄πάνω της την $\displaystyle{f(x)=1/1+x^2}$

δυστυχώς δεν είναι κοίλη στο $\displaystyle{ [0,1]}$ αλλά στο $\displaystyle{[0, \sqrt{3}/3]}$

αφού $\displaystyle{f(0)=1}$ είναι υποψήφια για χορδή

Η κλίση της είναι $\displaystyle{\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=-1/2<\frac{f(1/\sqrt{3})-f(0)}{{(1/\sqrt{3}-0}}$ που είναι η κλίση χορδή η οποία βρίσκεται κάτω από την $\displaystyle{C_f}$ άρα η $\displaystyle{(E)}$ ακόμη πιο κάτω
Από κει και πέρα η $\displaystyle{f}$ ειναι κυρτή άρα η $\displaystyle{(E)}$ kάτω από την $\displaystyle{f}$

Tότε $\displaystyle{f(x)>1-\frac{x}{2}}$ άρα $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx>3/4}$

Λόγω συμμετρίας , $\displaystyle{f}$ άρτια $\displaystyle{\int_{-1}^{1}f(x)dx>3/2}$

Για το 2ο σκέλος

$\displaystyle{(x^2+1)(1-\frac{x^2}{2})>1...}$ αφού $\displaystyle{0\le x\le 1}$ αρα $\displaystyle{\int_{0}^{1}{f(x)dx} \le \int_{0}^{1}{(1-x^2/2)dx}=5/6}$

Λόγω συμμετρίας , $\displaystyle{f}$ άρτια $\displaystyle{\int_{-1}^{1}f(x)dx\le 5/3}$

#4

: function.png (37.02 KiB) Προβλήθηκε 1428 φορές

Ευχαριστώ τον Αποστόλη και το Ροδόλφο για τις απαντήσεις.
Αν κάποιος κάνει το σχήμα όπως ζητήθηκε , μπορεί να
εμπνευστεί τις συναρτήσεις- φράγματα που απαιτούνται .
Οι ανισότητες αποδεικνύονται και αλγεβρικά .

Με την ευκαιρία : Ο μαθητής υποχρεούται να γνωρίζει την αντικατάσταση $\displaystyle x = \tan \theta$ ;

Με απλά υλικά (19)

Με απλά υλικά (19)

Re: Με απλά υλικά (19)

Re: Με απλά υλικά (19)

Re: Με απλά υλικά (19)

Μέλη σε σύνδεση