Επαναληπτικό

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=3^x+x^2-2x-2

με πεδίο ορισμού το

.

1. Να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία.

2. Nα δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0

έχει ακριβώς δύο ρίζες στο

.

3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός

ώστε οι ρίζες της f(x) = 0

να ανήκουν στο [a, a+2]

.

Είναι ο

μοναδικός;

4. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $k(x)=\dfrac{f(x)}{3^{x+1}}.$

5. Να δείξετε ότι $\displaystyle \int_{\rho _1}^{\rho _2}f(x)dx<\dfrac{24-30\ln 3}{9\ln 3},$

όπου $\rho _1$ η μικρότερη και $\rho _2$ η μεγαλύτερη ρίζα της f(x) = 0.

Σταμ. Γλάρος · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 28, 2019 12:38 pm
Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το .

1. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία.

2. Nα δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες στο .

3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός ώστε οι ρίζες της να ανήκουν στο .

Είναι ο μοναδικός;

4. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $k(x)=\dfrac{f(x)}{3^{x+1}}.$

5. Να δείξετε ότι $\displaystyle \int_{\rho _1}^{\rho _2}f(x)dx<\dfrac{24-30\ln 3}{9\ln 3},$

όπου $\rho _1$ η μικρότερη και $\rho _2$ η μεγαλύτερη ρίζα της

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στα τρία πρώτα...
1) Η

είναι 2 φορές παραγωγίσιμη με f'(x)=3^xln3 +2x-2

και $f'(x)=3^xln^{2}3 +2 >0$ .
Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .
Επίσης ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την

στο

.
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα $k\in (0,1)$ τέτοιο ώστε f'(k)=0

, και επειδή η

είναι 1-1 ως γνησίως αύξουσα

: μοναδική.
Επομένως για $x<k\Rightarrow f'(x)<f'(k)=0\Rightarrow$

γνησίως φθίνουσα στο $\left ( -\infty ,k \right ]$
και για $x>k\Rightarrow f'(x)>f'(k)=0\Rightarrow$ f :

γνησίως αύξουσα στο $\left [k,+\infty \right )$ .

2) Παρατηρώ ότι f(1)=0

. Συνεπώς η x=1

είναι μοναδική ρίζα της

στο $\left [k,+\infty \right )$ ,
αφού

: 1-1 στο διάστημα αυτό, ως γνησίως αύξουσα και k<1

.
Επίσης ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την

στο

.
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_1\in(-1,0)$ τέτοιο ώστε f(x_1)=0

.
Ακόμα έχουμε ότι η x_1

είναι μοναδική ρίζα της

στο $\left (-\infty ,k \right ]$ ,
αφού

: 1-1 στο διάστημα αυτό, ως γνησίως φθίνουσα και k>0

.

3) Από το προηγούμενο υποερώτημα οι δύο ρίζες της

είναι οι

.
Συνεπώς για τον μοναδικό ακέραιο a=-1

οι παραπάνω ρίζες ανήκουν στο διάστημα [a,a+2]

το οποίο είναι το [-1,1]

.

Δυστυχώς εδώ πρέπει να σταματήσω ...
Θα επανέλθω εάν δεν απαντηθούν τα υπόλοιπα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

Nα συμπληρώσω
4.
$\displaystyle{\frac{K(x)}{x}=1/3x+\frac{x-2-2/x}{3^{x+1}} \to 0}$ όταν $\displaystyle{x\to +\infty}$

$\displaystyle{k(x)-0x=1/3+\frac{x^2-x-2}{3^{x+1}}\to 1/3 }$ μετα απο 2 DLH

αρα ασύμπτωτος στο $\displaystyle{+\infty}$ η $\displaystyle{y=1/3}$ ενώ $\displaystyle{K(x)/x \to -\infty}$ οταν $\displaystyle{χ\to -\infty}$ αρα δεν υπάρχει ασύμπτωτος στο $\displaystyle{-\infty}$

5.
$\displaystyle{\int_{-1}^{1}{f(x)dx}=-10/3+8/3ln3}$ αρκεί $\displaystyle{\int_{1}^{\rho_2}{f(x)dx}<\int_{1}^{-1}{f(x)dx}=\frac{30ln3-24}{9ln3}}$ η ανισότητα στα ολοκληρώματα ισχύει αφού $\displaystyle{f(x)>0,\rho_2>-1}$

Επαναληπτικό

Επαναληπτικό

Re: Επαναληπτικό

Re: Επαναληπτικό

Μέλη σε σύνδεση