Όριο

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

ann79
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Δευ Απρ 29, 2019 9:00 pm

ΓΙα την παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R\rightarrow R με f'(x)\geq x^{2}+1, x\epsilon R , να δείξετε ότι lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty.



Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Δευ Απρ 29, 2019 9:11 pm

ann79 έγραψε:
Δευ Απρ 29, 2019 9:00 pm
ΓΙα την παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R\rightarrow R με f'(x)\geq x^{2}+1, x\epsilon R , να δείξετε ότι lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty.
Από τη δοσμένη προκύπτει ότι f'(x)\geq 1 (1).
Από ΘΜΤ στο [0,x] παίρνουμε πως υπάρχει k στο διάστημα αυτό ώστε:

f'(k)=\dfrac {f(x)-f(0)}{x} όμως από την (1) προκύπτει f(x)\geq x+f(0) και το ζητούμενο προκύπτει παίρνοντας τα όρια στο +άπειρο.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4360
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 29, 2019 9:12 pm

ann79 έγραψε:
Δευ Απρ 29, 2019 9:00 pm
ΓΙα την παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R\rightarrow R με f'(x)\geq x^{2}+1, x\epsilon R , να δείξετε ότι lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty.
Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
f'(x) \geq x^2+1 &\Rightarrow \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \geq \int_{0}^{x} \left ( t^2+1 \right ) \; \mathrm{d}t \\  
 &\Rightarrow f(x) - f(0) \geq \frac{x^3}{3} + x \\  
 &\Rightarrow f(x) \geq \frac{x^3}{3} + x + f(0) 
\end{aligned}}
Άρα,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)  &\geq \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac{x^3}{3} + x + f(0) \right ) \\  
 &=  +\infty 
\end{aligned}}
Οπότε , όντως , \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Απρ 29, 2019 9:18 pm

Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle{h(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}-x} , για την οποία έχουμε ότι \displaystyle{h' (x)=f' (x)-x^2 -1 \geq 0}

Άρα η h είναι αύξουσα οπότε αν \displaystyle{x\geq 0} τότε \displaystyle{h(x)\geq h(0)} , δηλαδή \displaystyle{h(x)\geq f(0)}. Συνεπώς:

\displaystyle{f(x)-\frac{x^3}{3}-x \geq f(0)} και άρα \displaystyle{f(x)\geq f(0)+\frac{x^3}{3}+x}. Όμως:

\displaystyle{lim_{x\rightarrow +\propto} [f(0)+\frac{x^3}{3}+x]=+\propto} . Άρα \displaystyle{lim_{x\rightarrow +\propto}f(x)=+\propto}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες