Χωρίο εντός τετραγώνου

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9330
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Χωρίο εντός τετραγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 19, 2019 11:35 am

Δίνεται τετράγωνο ABCD με \displaystyle A( - 1,1),B(1, - 1),C(1,1),D( - 1,1). Θεωρούμε το σύνολο S των εσωτερικών

σημείων M του τετραγώνου, για τα οποία το μήκος του OM (O η αρχή των αξόνων) δεν υπερβαίνει την απόσταση του M

από οποιαδήποτε πλευρά. Να βρείτε το εμβαδόν του S.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 652
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Χωρίο εντός τετραγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Οκτ 19, 2019 1:11 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Οκτ 19, 2019 11:35 am
Δίνεται τετράγωνο ABCD με \displaystyle A( - 1,1),B(1, - 1),C(1,1),D( - 1,1). Θεωρούμε το σύνολο S των εσωτερικών

σημείων M του τετραγώνου, για τα οποία το μήκος του OM (O η αρχή των αξόνων) δεν υπερβαίνει την απόσταση του M

από οποιαδήποτε πλευρά. Να βρείτε το εμβαδόν του S.
Έστω M(x,y). Θέλουμε \sqrt{x^2+y^2}<\min(1-|x|,1-|y|).

Περιοριζόμαστε στο χωρίο  A= \left \{ (x,y)\in R^2|0\leq |x|<y \leq 1\right \}.

Τώρα θέλουμε \sqrt{x^2+y^2}<1-y από την οποία εύκολα βρίσκουμε ότι y<-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}.

Θεωρώντας τώρα y=|x| και λύνοντας την |x|=-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2} βρίσκουμε ρίζες τις

\sqrt{2}-1,1-\sqrt{2}. Αυτές είναι οι τετμημένες των σημείων τομής του σχήματος που υποδεικνύει η εκφώνηση με

τις ευθείες y=x,y=-x.

Ολοκληρώνοντας παίρνουμε \displaystyle \int_{1-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}-1}\left (-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2} \right )dx=\dfrac{4-2\sqrt{2}}{3}

μόνο που έχουμε λογαριάσει επιπλέον το εμβαδόν δύο ίσων ορθογωνίων τριγώνων με μήκος βάσης \sqrt{2}-1

και ύψος το ίδιο. Άρα E=\dfrac{4-2\sqrt{2}}{3}-(\sqrt{2}-1)^2 και το ζητούμενο εμβαδόν (λόγω συμμετρίας)

είναι 4E.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης