Κορεατικές επιλογές

Al.Koutsouridis · #1

Έστω ότι, η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης y=e^x

στο σημείο $\left (t, e^t \right )$ είναι $y=f\left (x \right )$ , όπου

πραγματικός αριθμός και έστω $g\left ( t \right )$ η ελάχιστη τιμή του πραγματικού αριθμού

για την οποία η συνάρτηση $\displaystyle y=|f\left (x \right )+k -\ln x |$ είναι παραγωγίσιμη για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς.

Αν $\displaystyle{ \int_{a}^{b} g(t) dt = m }$ για δύο πραγματικούς αριθμούς

και

με

, ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

Α) Υπάρχουν δυο πραγματικοί αριθμοί $a,b \quad (a<b)$ , ώστε m < 0

.

Β) Αν g(c) =0

για κάποιο πραγματικό αριθμό

, τότε

.

Γ) Αν η τιμή του

γίνεται ελάχιστη όταν $a=\alpha$ και $b = \beta$ $(\alpha < \beta)$ , τότε $\dfrac{1+g^{\prime}(\beta)}{1+g^{\prime}(\alpha)} < -e^2$ .

Θέμα 21 (πολλαπλής επιλογής) των φετινών (2020) εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας, για την ομάδα τύπου Β (κατεύθυνσης).

#2

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι :
$y-{{e}^{t}}={{e}^{t}}(x-t)\Rightarrow f(x)={{e}^{t}}x+(1-t){{e}^{t}}$ . Έστω :
$t(x)=y=\,\,|f\left( x \right)+k-\ln x|\,\,\Leftrightarrow t(x)=\,\,\,|{{e}^{t}}x+(1-t){{e}^{t}}+k-\ln x|$
Έστω $h(x)={{e}^{t}}x+(1-t){{e}^{t}}+k-\ln x$ .Τότε ${h}'(x)={{e}^{t}}-\frac{1}{x}$ ,οπότε ${h}'(x)\ge 0\Leftrightarrow x\ge {{e}^{-t}}$
Άρα παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με
$h({{e}^{-t}})={{e}^{t}}{{e}^{-t}}+(1-t){{e}^{t}}+k-\ln {{e}^{-t}}=1+{{e}^{t}}-t{{e}^{t}}+k+t$
Η t(x)

είναι παραγωγίσιμη αν : $1+{{e}^{t}}-t{{e}^{t}}+k+t\ge 0\Leftrightarrow k\ge (t-1){{e}^{t}}-t-1$
Επομένως $g(t)=(t-1){{e}^{t}}-t-1$
Αν $g(c)=0\Leftrightarrow (c-1){{e}^{c}}-c-1=0\Leftrightarrow (c-1){{e}^{c}}=c+1\Leftrightarrow {{e}^{c}}=\frac{c+1}{c-1}$ και τότε
$g(-c)=0\Leftrightarrow {{e}^{-c}}=\frac{-c+1}{-c-1}\Leftrightarrow \frac{1}{{{e}^{c}}}=\frac{c-1}{c+1}\Leftrightarrow {{e}^{c}}=\frac{c+1}{c-1}$ , αληθές ,
οπότε το (Β) ερώτημα αληθεύει .

$\displaystyle g(t)=(t-1){{e}^{t}}-t-1\Rightarrow {g}'(t)=t{{e}^{t}}-1$
Μπορούμε να δείξουμε ότι η $\displaystyle g(t)$ έχει ελάχιστο για κάποιο $\displaystyle {{x}_{0}}\in (0,1)$ , αφού $\displaystyle {g}'(0){g}'(1)=(-1)(e-1)<0$
και κατόπιν ότι έχει δύο ακριβώς ρίζες , τις $\displaystyle -c,c$ .
Τότε $\displaystyle g(t)<0,t\in (-c,c)\Rightarrow$ $\int\limits_{-c}^{c}{g}(t)dt=m<0$
Άρα το (Α) αληθεύει .
$\frac{1+{g}'(\beta )}{1+{g}'(\alpha )}<-{{e}^{2}}\Leftrightarrow \frac{1+\beta {{e}^{\beta }}-1}{1+\alpha {{e}^{\alpha }}-1}<-{{e}^{2}}\Leftrightarrow \frac{c{{e}^{c}}}{-c{{e}^{-c}}}<-{{e}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{e}^{c}}}{{{e}^{-c}}}<{{e}^{2}}\Leftrightarrow {{e}^{2c}}>{{e}^{2}}\Rightarrow c>1$

όμως ${{e}^{c}}=\frac{c+1}{c-1}>0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c>0$ , οπότε c>1

, άρα και το (Γ) αληθεύει

Κορεατικές επιλογές

Κορεατικές επιλογές

Re: Κορεατικές επιλογές

Μέλη σε σύνδεση