Νέα έκδοση με επαναληπτικά θέματα

#1

Στους αγαπητούς φίλους Κώστα Τηλέγραφο, Περικλή Παντούλα και Θανάση Ντρίζο, εύχομαι να είναι καλοτάξιδο το νέο τους βιβλίο και να πετύχει στο στόχο τους, που είναι να βοηθήσουν τους μαθητές στην τελική τους επανάληψη.

: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ-ΘΕΜΑΤΑ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ-Αντιγραφή-300x414.jpg (22.65 KiB) Προβλήθηκε 1818 φορές

Αναρτώ ένα θέμα από τη συλλογή αυτή. Ας αφήσουμε ένα περιθώριο 2 ημερών στους μαθητές (έως την 25 Μαρτίου).

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \ln \left( {4 - {x^2}} \right)$

Ε1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι η

είναι άρτια συνάρτηση.

Ε2. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C_f

στα σημεία τομής της με τον άξονα x’x

τέμνονται σε σημείο του άξονα y’y

.

Ε3. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα.

Ε4. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του $\displaystyle \mu \in \left( {0, + \infty } \right)$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle \mu \cdot \ln 4 \ge \ln \left( {4 - {x^2}} \right)$ για κάθε $x \in (-2,2)$

Ε5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι στο χωρίο που περικλείεται από την C_f

και τον άξονα x’x

εγγράφεται μοναδικό τετράγωνο, οι δύο κορυφές του οποίου είναι σημεία της C_f

συμμετρικά ως προς τον άξονα y’y

, ενώ οι δύο άλλες κορυφές του είναι οι προβολές στον άξονα x’x

των κορυφών του τετραγώνου που ανήκουν στην C_f

.

TasosBat · #2

Ε1. Πρέπει: $4- {x^2}>0$ , απ'όπου εύκολα προκύπτει $x \in (-2,2)$ . Άρα D_f=(-2,2)

. Το

σύνολο συμμετρικό ως προς το 0 και για κάθε $x \in D_f$ έχουμε $\displaystyle f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ οπότε η

είναι άρτια.

Ε2. H C_f

τέμνει τον x'x

στα σημεία $\displaystyle (\sqrt{3},0)$ και $\displaystyle (-\sqrt{3},0)$ . Η

είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle f'\left(x\right)=\frac{2x}{{x^2}-4}, x \in (-2,2)$ οπότε οι εφαπτομένες στα σημεία που αναφέρθηκαν είναι οι $\displaystyle \epsilon _1: y=-2\sqrt{3}x+6$ και $\displaystyle \epsilon _2: y=2\sqrt{3}x+6$ οι οποίες τέμνονται στο σημείο $\displaystyle (0,6) \in y'y$ .

Ε3. Είναι $\displaystyle f'(x)>0$ για $x\in (-2,0)$ και $\displaystyle f'(x)<0$ για $x\in (0,2)$ . Λόγω συνέχειας στο 0, προκύπτει ότι η

είναι γν. αύξουσα στο (-2,0]

και γν. φθίνουσα στο [0,2)

, ενώ παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο x_0=0

το $\displaystyle f(0)=\ln4$ . 'Εχουμε ακόμα $\displaystyle f''(x)=-\frac{2{x^2}+8}{{({x^2}-4)}^2}<0 , \forall x\in (-2,2)$ . Έπεται ότι η

είναι κοίλη στο $\displaystyle D_f=(-2,2)$ .

Ε4. Από το Ε3 είδαμε ότι $f(x)\le ln4, \forall x\in (-2,2)$ ή ,ισοδύναμα, $\ln(4-{x^2})\le ln4, \forall x\in (-2,2)$ με την ισότητα μονο για x=0

. Επομένως πρέπει $\mu \cdot \ln4\ge \ln4$ ή ,ισοδύναμα, $\mu\ge 1$ . Άρα $\mu_{min}=1$ .

Ε5. Η C_f

έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες x=-2

και

και με βάση την κυρτότητα και την μονοτονία σχεδιάζουμε εύκολα.(Αφήνω το σχήμα στους ειδικούς του geogebra...)
Το εν λόγω τετράγωνο σχηματίζεται απο δύο συμμετρικά ως προς τον y'y

σημεία της C_f

, τα

(η

είναι άρτια άρα f(-x)=f(x)

) και τις προβολές αυτών πάνω στον x'x

, δηλ. τα σημεία (x,0), (-x,0)

, όπου $x\in(-\sqrt{3},\sqrt{3})$ (βρήκαμε τα σημεία τομής της C_f

στο Ε1). Λόγω συμμετρίας, μπορούμε να θεωρήσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $x\in(0,\sqrt{3})$ . Πρέπει, λοιπόν, όλες οι σχηματιζόμενες πλευρές να είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή πρέπει $\displaystyle |f(x)|=|x|$ ή ,ισοδύναμα, f(x)=x

, καθώς προκύπτει ότι $f(x)>0, x\in (0,\sqrt{3})\subset(-\sqrt{3},\sqrt{3})$ . Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=f(x)-x , x\in [0,\sqrt{3}]$ η οποία είναι συνεχής και για την οποία g(0)=ln4>0

και $g(\sqrt{3})=-2\sqrt{3}<0$ . Από το Θ. Bolzano έπεται ότι υπάρχει μοναδικό $x_0 \in(0,\sqrt{3})$ τέτοιο, ώστε g(x)=0

ή ,ισοδύναμα, f(x)=x

, οπότε έπεται και η μοναδικότητα του εν λόγω τετραγώνου.

#3

Ευχαριστώ Τάσο για την άμεση απάντηση. Εύχομαι επιτυχία στους στόχους σου.

Θα πρότεινα και την εξής γενίκευση (με προτεραιότητα στους μαθητές):

Να ελεγχθεί αν είναι αληθής ο ισχυρισμός:
Οι εφαπτόμενες σε δύο σημεία, συμμετρικά ως προς τον κατακόρυφο άξονα, μιας άρτιας και παραγωγίσιμης συνάρτησης σε διάστημα [-a, a], a>0

είτε τέμνονται πάνω στον κατακόρυφο άξονα είτε είναι κάθετες στον οριζόντιο άξονα.

edit: Δείτε μια τροποποίηση παρακάτω.

Μάρκος Βασίλης · #4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 25, 2020 1:27 pm
[...] είτε είναι κάθετες στον οριζόντιο άξονα.

Νομίζω ότι αυτό είναι εκτός ύλης για τους μαθητές μας - ωστόσο, ωραία και διαισθητική ερώτηση.

#5

Ευχαριστώ τον Μάρκο Βασίλη και τον Γιώργη Καλαθάκη και αλλάζω το ερώτημα:

Να ελεγχθεί αν είναι αληθής ο ισχυρισμός:
Οι εφαπτόμενες σε δύο σημεία, συμμετρικά ως προς τον κατακόρυφο άξονα, μιας άρτιας και παραγωγίσιμης συνάρτησης σε διάστημα [-a, a], a>0

τέμνονται πάνω στον κατακόρυφο άξονα.

Ας αφήσουμε για άλλο φάκελο το ερώτημα για την περίπτωση των κατακόρυφων εφαπτομένων, (που ούτως ή άλλως δεν θα ήταν παραγωγίσιμη στα άκρα, όπως είχε δοθεί).

#6

Αν η $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη και άρτια τότε η παράγωγός της είναι περιττή , αφού :
$\displaystyle f( - x) = f(x) \Rightarrow - f'( - x) = f'(x) \Rightarrow f'( - x) = - f'(x)$
Η εφαπτόμενη στο $\displaystyle (k,f(k))$ είναι :
$\displaystyle y - f(k) = f'(k)(x - k) \Leftrightarrow y = f'(k)(x - k) + f(k)$
Η εφαπτόμενη στο $\displaystyle (-k,f(k))$ είναι :
$\displaystyle y - f(k) = - f'(k)(x + k) \Leftrightarrow y = - f'(k)(x + k) + f(k)$
Για $\displaystyle x = 0$ παίρνουμε και απ΄τις δύο ότι : $\displaystyle y = - kf'(k) + f(k)$
Άρα τέμνονται στο σημείο $\displaystyle \left( {0,\; - kf'\left( k \right) + f\left( k \right)} \right)$ του άξονα $\displaystyle y'y$

Νέα έκδοση με επαναληπτικά θέματα

Νέα έκδοση με επαναληπτικά θέματα

Re: Νέα έκδοση με επαναληπτικά θέματα

Re: Νέα έκδοση με επαναληπτικά θέματα

Re: Νέα έκδοση με επαναληπτικά θέματα

Re: Νέα έκδοση με επαναληπτικά θέματα

Re: Νέα έκδοση με επαναληπτικά θέματα

Μέλη σε σύνδεση