Τετράγωνο και ρίζα

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15010
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τετράγωνο και ρίζα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 24, 2020 10:21 am

\bigstar Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=x^2\sqrt{x+1} .

α) Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της f ( αφού προηγηθεί πλήρης μελέτη της )

β) Υπολογίστε το : \displaystyle \int_{-1}^{3}f(x)dx .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράγωνο και ρίζα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 26, 2020 10:49 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 10:21 am
\bigstar Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=x^2\sqrt{x+1} .

α) Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της f ( αφού προηγηθεί πλήρης μελέτη της )

β) Υπολογίστε το : \displaystyle \int_{-1}^{3}f(x)dx .
α) Η f είναι συνεχής στο \displaystyle [ - 1, + \infty ) και παραγωγίσιμη στο ( - 1, + \infty ) με παράγωγο \displaystyle f'(x) = \frac{{x(5x + 4)}}{{2\sqrt {x + 1} }}

\displaystyle  \bullet Είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle \left[ { - 1, - \frac{4}{5}} \right],\left[ {0, + \infty } \right) και γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle \left[ { - \frac{4}{5},0} \right]

Για \displaystyle x =  - \frac{4}{5} έχει τοπικό μέγιστο ίσο με \displaystyle f\left( { - \frac{4}{5}} \right) = \frac{{16\sqrt 5 }}{{125}} και για x=-1, x=0, ολικό ελάχιστο

\displaystyle f( - 1) = f(0) = 0

\displaystyle  \bullet \displaystyle f''(x) = \frac{{15{x^2} + 24x + 8}}{{4\sqrt {{{(x + 1)}^3}} }}, οπότε η f είναι κοίλη στο \displaystyle \left[ { - 1,{x_0}} \right], κυρτή στο [x_0, + \infty } \right)) και έχει σημείο καμπής το

\displaystyle A\left( {{x_0},f({x_0})} \right), όπου \displaystyle {{x_0} = \frac{{2\sqrt 6  - 12}}{{15}}}.

Ασύμπτωτες δεν υπάρχουν. Η γραφική παράσταση της f δίνεται παρακάτω.
Τετράγωνο και ρίζα.png
Τετράγωνο και ρίζα.png (7.37 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές
β) Θέτω \displaystyle u = x + 1 και το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται:
\displaystyle \int_0^4 {{{(u - 1)}^2}\sqrt u } {\rm{ }}du = \int_0^4 {\left( {{u^{\frac{5}{2}}} - 2{u^{\frac{3}{2}}} + {u^{\frac{1}{2}}}} \right)} {\rm{ }}du = \left[ {\frac{2}{7}{u^{\frac{7}{2}}} - \frac{4}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + \frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}}} \right]_0^4 = ... = \frac{{1712}}{{105}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες