Μια εξίσωση!

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6272
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Μια εξίσωση!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Απρ 25, 2020 12:07 pm

Να λυθεί η εξίσωση

\displaystyle{\rm (2x+1)\left(1+2\sqrt{x^2+x+1}\right)+(5x+1)\left(1+\sqrt{25x^2+10x+4}\right)=0.}


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1850
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μια εξίσωση!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Απρ 25, 2020 12:20 pm

Το κλειδί είναι η f(x)=x(1+\sqrt{x^2+3}),~x\in\mathbb{R} η οποία είναι περιττή και γνησίως αύξουσα.

Η εξίσωση που δίνεται μετατρέπεται ισοδύναμα στην f(2x+1)+f(5x+1)=0 \Leftrightarrow f(2x+1)=-f(5x+1) \Leftrightarrow f(2x+1)=f(-5x-1)

Καθώς η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη άρα 1-1 έχουμε τελικά 2x+1=-5x-1 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{7}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Μια εξίσωση!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Απρ 25, 2020 12:42 pm

Πολύ ωραία και η άσκηση και η λύση.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5514
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μια εξίσωση!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Απρ 25, 2020 2:25 pm

matha έγραψε:
Σάβ Απρ 25, 2020 12:07 pm
Να λυθεί η εξίσωση
\displaystyle{\rm (2x+1)\left(1+2\sqrt{x^2+x+1}\right)+(5x+1)\left(1+\sqrt{25x^2+10x+4}\right)=0.}

Ας δούμε και μία άποψη non paper, και αν μας επιτρέπεται από τον εισηγητή του θέματος, με πιο στοιχειώδη «εργαλεία», καθαρά αλγεβρικά και μόνο για λόγους Μαθηματικού Πλουραλισμού:

Αν θέσουμε A = 2x + 1,\;B = 5x + 1, η εξίσωση μας γράφεται {A^2}\left( {{A^2} + 4 + 2\sqrt {{A^2} + 3} } \right) - {B^2}\left( {{B^2} + 4 + 2\sqrt {{B^2} + 3} } \right) = 0
με AB < 0, οπότε γράφεται \left( {{A^2} - {B^2}} \right)\left( {{A^2} + {B^2} + 4} \right) +2 \left( {{A^2}\sqrt {{A^2} + 3}  - {B^2}\sqrt {{B^2} + 3} } \right) = 0,
με AB < 0 και με χρήση συζυγούς για την παράσταση μέσα στην παρένθεση γράφεται:
\displaystyle{\left( {{A^2} - {B^2}} \right)\left( {{A^2} + {B^2} + 4} \right) +2 \frac{{{A^6} - {B^6} + 3\left( {{A^4} - {B^4}} \right)}}{{f\left( {A,B} \right)}} = 0}, με f\left( {A,B} \right) > 0.
Έτσι τελικά παίρνουμε \left( {{A^2} - {B^2}} \right)g\left( {A,B} \right) = 0, με g\left( {A,B} \right) > 0.

Άρα \displaystyle{{A^2} - {B^2} = 0 ή 21{x^2} + 6x = 0}, από όπου προκύπτει x = 0, που δεν τη δεχόμαστε αφού AB < 0 ή

\dysplaystyle{x =  - \frac{2}{7}} που την δεχόμαστε ως λύση καθότι επαληθεύει την αρχική.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες