Μια εξίσωση!

#1

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{\rm (2x+1)\left(1+2\sqrt{x^2+x+1}\right)+(5x+1)\left(1+\sqrt{25x^2+10x+4}\right)=0.}$

Christos.N · #2

Το κλειδί είναι η $f(x)=x(1+\sqrt{x^2+3}),~x\in\mathbb{R}$ η οποία είναι περιττή και γνησίως αύξουσα.

Η εξίσωση που δίνεται μετατρέπεται ισοδύναμα στην $f(2x+1)+f(5x+1)=0 \Leftrightarrow f(2x+1)=-f(5x+1) \Leftrightarrow f(2x+1)=f(-5x-1)$

Καθώς η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη άρα 1-1

έχουμε τελικά $2x+1=-5x-1 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{7}$

BAGGP93 · #3

Πολύ ωραία και η άσκηση και η λύση.

S.E.Louridas · #4

matha έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2020 12:07 pm
Να λυθεί η εξίσωση
$\displaystyle{\rm (2x+1)\left(1+2\sqrt{x^2+x+1}\right)+(5x+1)\left(1+\sqrt{25x^2+10x+4}\right)=0.}$

Ας δούμε και μία άποψη non paper, και αν μας επιτρέπεται από τον εισηγητή του θέματος, με πιο στοιχειώδη «εργαλεία», καθαρά αλγεβρικά και μόνο για λόγους Μαθηματικού Πλουραλισμού:

Αν θέσουμε $A = 2x + 1,\;B = 5x + 1,$ η εξίσωση μας γράφεται ${A^2}\left( {{A^2} + 4 + 2\sqrt {{A^2} + 3} } \right) - {B^2}\left( {{B^2} + 4 + 2\sqrt {{B^2} + 3} } \right) = 0$
με AB < 0

, οπότε γράφεται $\left( {{A^2} - {B^2}} \right)\left( {{A^2} + {B^2} + 4} \right) +2 \left( {{A^2}\sqrt {{A^2} + 3} - {B^2}\sqrt {{B^2} + 3} } \right) = 0$ ,
με AB < 0

και με χρήση συζυγούς για την παράσταση μέσα στην παρένθεση γράφεται:
$\displaystyle{\left( {{A^2} - {B^2}} \right)\left( {{A^2} + {B^2} + 4} \right) +2 \frac{{{A^6} - {B^6} + 3\left( {{A^4} - {B^4}} \right)}}{{f\left( {A,B} \right)}} = 0}$ , με $f\left( {A,B} \right) > 0.$
Έτσι τελικά παίρνουμε $\left( {{A^2} - {B^2}} \right)g\left( {A,B} \right) = 0,$ με $g\left( {A,B} \right) > 0.$

Άρα $\displaystyle{{A^2} - {B^2} = 0$ ή $21{x^2} + 6x = 0}$ , από όπου προκύπτει x = 0,

που δεν τη δεχόμαστε αφού AB < 0

ή

$\dysplaystyle{x = - \frac{2}{7}}$ που την δεχόμαστε ως λύση καθότι επαληθεύει την αρχική.

Μια εξίσωση!

Μια εξίσωση!

Re: Μια εξίσωση!

Re: Μια εξίσωση!

Re: Μια εξίσωση!

Μέλη σε σύνδεση