Με απλά υλικά (24)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (24)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Αύγ 17, 2020 4:27 pm

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle a,b, με \displaystyle a>0 και η συνάρτηση \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{\ln (a+x)-x}{{{x}^{2}}},-a<x\ne 0  \\ 
   b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0  \\ 
\end{matrix} \right.
Α) Να βρείτε τους \displaystyle a,b ώστε η \displaystyle f να είναι συνεχής στο \displaystyle {{D}_{f}}=(-a,+\infty )

Β) Για τις τιμές των \displaystyle a,b που βρήκατε στο (Α) :
α) Να δείξετε ότι \displaystyle f(x)<0 για κάθε \displaystyle x\in {{D}_{f}}.
β) Να βρείτε την παράγωγο της \displaystyle f για κάθε \displaystyle x\in {{D}_{f}} .
γ) Να δείξετε ότι η \displaystyle f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της .
δ) Να δείξετε ότι είναι κοίλη στο πεδίο ορισμού της .
ε) Να υπολογίσετε το εμβαδόν \displaystyle E(k) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \displaystyle f, τον \displaystyle x{x}'και τις ευθείες με εξισώσεις \displaystyle x=k,x=1 , όπου \displaystyle 0<k<1 και κατόπιν το \displaystyle \underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( E(k) \right)


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1548
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Με απλά υλικά (24)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Αύγ 18, 2020 4:32 pm

exdx έγραψε:
Δευ Αύγ 17, 2020 4:27 pm
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle a,b, με \displaystyle a>0 και η συνάρτηση \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{\ln (a+x)-x}{{{x}^{2}}},-a<x\ne 0  \\ 
   b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0  \\ 
\end{matrix} \right.
Α) Να βρείτε τους \displaystyle a,b ώστε η \displaystyle f να είναι συνεχής στο \displaystyle {{D}_{f}}=(-a,+\infty )

Β) Για τις τιμές των \displaystyle a,b που βρήκατε στο (Α) :
α) Να δείξετε ότι \displaystyle f(x)<0 για κάθε \displaystyle x\in {{D}_{f}}.
β) Να βρείτε την παράγωγο της \displaystyle f για κάθε \displaystyle x\in {{D}_{f}} .
γ) Να δείξετε ότι η \displaystyle f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της .
δ) Να δείξετε ότι είναι κοίλη στο πεδίο ορισμού της .
ε) Να υπολογίσετε το εμβαδόν \displaystyle E(k) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \displaystyle f, τον \displaystyle x{x}'και τις ευθείες με εξισώσεις \displaystyle x=k,x=1 , όπου \displaystyle 0<k<1 και κατόπιν το \displaystyle \underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( E(k) \right)
...γειά σου Γιώργη...μια αντιμετώπιση....

ΛΥΣΗ
Α) Επειδή η \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{\ln (a+x)-x}{{{x}^{2}}},-a<x\ne 0  \\ 
   b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0  \\ 
\end{matrix} \right.

είναι συνεχής στο (-a,0)\cup (0,+\infty ) για να είναι συνεχής στο \displaystyle {{D}_{f}}=(-a,+\infty ) αναγκαία συνεχής και

στο {{x}_{0}}=0 δηλαδή πρέπει και αρκεί \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f(0)=b(1)

Είναι τώρα f(x)=\frac{\ln (a+x)-x}{{{x}^{2}}},x\ne 0 οπότε {{x}^{2}}f(x)=\ln (a+x)-x και επειδή \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}f(x)=0

αναγκαία λόγω της ισότητας \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\ln (a+x)-x)=0\Rightarrow \ln a=0\Rightarrow a=1

τότε f(x)=\frac{\ln (1+x)-x}{{{x}^{2}}},x\ne 0 και \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (1+x)-x}{{{x}^{2}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{1+x}-1}{2x}=

=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{-x}{1+x}}{2x}=-\frac{1}{2} έτσι b=-\frac{1}{2}

Β) Είναι τώρα f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{\ln (1+x)-x}{{{x}^{2}}},-1<x\ne 0  \\ 
   -\frac{1}{2},x=0  \\ 
\end{matrix} \right.

α) Ως γνωστόν ισχύει \ln (1+x)\le (1+x)-1,\,\,x>-1 ή \ln (1+x)\le x,\,\,x>-1 ή \ln (1+x)-x\le 0,\,\,x>-1 και η ισότητα μόνο για x=0

επομένως προφανώς ισχύει ότι \displaystyle f(x)<0 για κάθε \displaystyle x\in {{D}_{f}}.

β) Είναι για x\ne 0 παραγωγίσιμη με {f}'\left( x \right)=\frac{\left( \frac{1}{1+x}-1 \right){{x}^{2}}-2x\left( \ln (1+x \right)-x)}{{{x}^{4}}}

{f}'\left( x \right)=\frac{\frac{-{{x}^{3}}}{1+x}-2x\ln (1+x)+2{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}}=\frac{-\frac{{{x}^{2}}}{1+x}-2\ln (1+x)+2x}{{{x}^{3}}}=

{f}'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-2(x+1)\ln (1+x)+2x}{{{x}^{3}}(x+1)},x\ne 0

Στο x\ne 0 έχουμε \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2(x+1)\ln (1+x)+2x}{{{x}^{3}}(x+1)} με

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2(x+1)\ln (1+x)+2x}{{{x}^{3}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-2\ln (1+x)-2+2}{3{{x}^{2}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-2\frac{1}{1+x}}{6x}=\frac{1}{3}

επομένως {f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \frac{{{x}^{2}}-2(x+1)\ln (1+x)+2x}{{{x}^{3}}(x+1)},-1<x\ne 0 \\  
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,x=0 \\  
\end{matrix} \right.

γ) Για την συνάρτηση g(x)={{x}^{2}}-2(x+1)\ln (1+x)+2x,\,\,x>-1 είναι g(0)=0 και {g}'(x)=2x-2\ln (1+x)>0(όπως προηγούμενα για x\ne 0 άρα για

x<0\Rightarrow g(x)<0 άρα {f}'\left( x \right)=\frac{g(x)}{{{x}^{3}}(x+1)}>0,\,\,\,\,\,\,-1<x<0 και για

x>0\Rightarrow g(x)>0 άρα {f}'\left( x \right)=\frac{g(x)}{{{x}^{3}}(x+1)}>0,\,\,\,\,\,\,x>0 έτσι είναι {f}'\left( x \right)>0,\,\,\,\,\,\,-1<x

επομένως \displaystyle f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

δ) Είναι τώρα {f}'\left( x \right)=\frac{g(x)}{{{x}^{3}}(x+1)},\,\,\,\,\,\,-1<x\ne 0 οπότε {f}''\left( x \right)=\frac{{g}'(x)({{x}^{2}}+x)-g(x)(4x+3)}{{{x}^{4}}{{(x+1)}^{2}}},\,\,\,\,\,\,-1<x\ne 0(2)

Τώρα για την συνάρτηση h(x)={g}'(x)({{x}^{2}}+x)-g(x)(4x+3),\,\,\,-1<x είναι h(0)=0 και {h}'(x)={g}''(x)({{x}^{2}}+x)+{g}'(x)(2x+1)-{g}'(x)(4x+3)-4g(x)=

={g}''(x)({{x}^{2}}+x)+2(x+1){g}'(x)-4g(x)(3)

2(x+1){g}'(x)=2(x+1)(2x-2\ln (1+x))=4{{x}^{2}}+4x-4(x+1)\ln (1+x)(4)

4g(x)=4{{x}^{2}}-8(x+1)\ln (1+x)+8x=4{{x}^{2}}+8x-8(x+1)\ln (x+1) (5) και

{g}''(x)({{x}^{2}}+x)=\frac{2x}{x+1}x(x+1)=2{{x}^{2}}(6)

Τώρα λόγω (4),(5),(6) η (3) γίνεται {h}'(x)=-2(g(x)+2x) και σύμφωνα με προηγούμενα είναι για -1<x<0\Rightarrow {h}'(x)>0 άρα η h είναι

γνήσια αύξουσα στο (-1,\,0] και x>0\Rightarrow {h}'(x)<0 άρα η h είναι γνήσια φθίνουσα στο [0,+\infty ) άρα έχουμε μέγιστο στο x=0 το

h(0)=0 και επομένως {f}''\left( x \right)=\frac{h(x)}{{{x}^{4}}{{(x+1)}^{2}}}<0,\,\,\,\,\,\,-1<x\ne 0 άρα η {f}' γνήσια φθίνουσα και επομένως η f κοίλη.

ε) Το ζητούμενο εμβαδό είναι E(k)=\int\limits_{k}^{1}{\left| f(x) \right|}dx=-\int\limits_{k}^{1}{f(x)dx}=-\int\limits_{k}^{1}{\frac{\ln (x+1)-x}{{{x}^{2}}}}={{\int\limits_{k}^{1}{\left( \frac{1}{x} \right)}}^{\prime }}(\ln (x+1)-x)dx=

=\left[ \frac{\ln (x+1)-x}{x} \right]_{k}^{1}-\int\limits_{k}^{1}{\frac{1}{x}}(\frac{1}{x+1}-1)dx=\left[ \frac{\ln (x+1)-x}{x} \right]_{k}^{1}+\int\limits_{k}^{1}{\frac{1}{x+1}}dx=

=\left[ \frac{\ln (x+1)-x}{x} \right]_{k}^{1}+\left[ \ln (x+1) \right]_{k}^{1}=2\ln 2-\ln (k+1)-\frac{\ln (k+1)}{k} και εύκολα \underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( E(k) \right)=2\ln 2-1

...ελπίζω να μην εχω κάνει πατάτα στις πράξεις...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης