Γενική. ...

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4405
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Γενική. ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Αύγ 22, 2020 2:15 pm

Δε θυμάμαι αν την έχουμε συζητήσει...

Δίδεται μία συνάρτηση f:[-1,1] \rightarrow [0, \pi] τέτοια ώστε
\displaystyle{\cos f(x) =x \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in [-1, 1]}]
(α) Να βρεθεί το f(0).

(β) Να δειχθεί ότι η f είναι 1-1.

(γ) Να δειχθεί ότι f\left ( \cos x \right )=\cos x για κάθε x \in [0, \pi].

(δ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f.

(ε) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της f.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 255
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γενική. ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Αύγ 22, 2020 4:41 pm

Η άσκηση είναι πολύ απλή.Την αφήνω να τη λύσει κάποιος μαθητής.
Μάλλον στο (γ) εννοείς f(\cos x)= x.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4405
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γενική. ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Αύγ 23, 2020 11:16 am

Ναι εύκολη είναι.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
nikhtas30
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 25, 2019 5:04 pm

Re: Γενική. ...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikhtas30 » Κυρ Αύγ 23, 2020 11:24 pm

Για να διευκολυνθώ θέτω π=p
α)
Για x=0
cosf(0)=0 ή x=2kp όπου k ακέραιος
Το σύνολο τιμών της f είναι το B=[0,p]
Άρα ισχύει ότι:
0≤x=2kp≤p ή ... ή k=0 άρα f(0)=0

β) Για κάθε x_{1,2} με f(x_{1})=f(x_{2}) ισχύει:
cosf(x1)=cosf(x2) οπότε από την αρχική σχέση συνεπάγεται ότι x_{1}=x_{2}
Δηλαδή η f είναι συνάρτηση ένα προς ένα.
γ) Από το ερώτημα β) προκύπτει ότι η f αντιστρέφεται.
θέτω όπου χ το f^{-1}(x)
Άρα η αρχική μας σχέση γίνεται
cosx=f^{-1}(x) ή f(cosx)=x, για κάθε x που ανήκει στο [0,p]
δ)το σύνολο τιμών της f είναι [0,p]
ε)
Η Cf και της Cf^-1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x.

Η Cf^-1 είναι η γραφική παράσταση του συνημιτόνου, όμως, όχι ολόκληρη μόνο από το 0 μέχρι το π την σχεδιάζουμε.
Μετά φέρνουμε την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου και σχεδιάζουμε την συμμετρική συνάρτηση ως προς την ευθεία, οπότε δημιουργείται η Cf.
Η συνάρτηση του συνημιτόνου για χ=0 είναι y=1 και άρτια άρα συμμετρική ως προς τον άξονα y'y


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 255
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γενική. ...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Αύγ 24, 2020 12:03 am

nikhtas30 έγραψε:
Κυρ Αύγ 23, 2020 11:24 pm
Για x=0
cosf(0)=0 ή x=2kp όπου k ακέραιος
Το σύνολο τιμών της f είναι το B=[0,p]
Άρα ισχύει ότι:
0≤x=2kp≤p ή ... ή k=0 άρα f(0)=0
Είναι f(0)= \frac{\pi}{2} και όχι f(0)=0.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4405
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γενική. ...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Αύγ 24, 2020 12:31 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Αύγ 22, 2020 2:15 pm

(ε) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της f.
inverse.png
inverse.png (6.61 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
nikhtas30 έγραψε:
Κυρ Αύγ 23, 2020 11:24 pm

δ)το σύνολο τιμών της f είναι [0,p]
Νομίζω ότι για το σύνολο τιμών θέλει να πούμε λίγα παραπάνω.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
nikhtas30
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 25, 2019 5:04 pm

Re: Γενική. ...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikhtas30 » Δευ Αύγ 24, 2020 2:37 am

stranger έγραψε:
Δευ Αύγ 24, 2020 12:03 am
nikhtas30 έγραψε:
Κυρ Αύγ 23, 2020 11:24 pm
Για x=0
cosf(0)=0 ή x=2kp όπου k ακέραιος
Το σύνολο τιμών της f είναι το B=[0,p]
Άρα ισχύει ότι:
0≤x=2kp≤p ή ... ή k=0 άρα f(0)=0
Είναι f(0)= \frac{\pi}{2} και όχι f(0)=0.
:oops: Εξαιτίας της βιασύνης μου. Δεν σκέφτηκα καθόλου ασυναίσθητα το έγραψα. Εμπιστεύτηκα την διαίσθησή μου τυφλα. Είναι και βράδυ και νυστάζω επιπλέον δεν έχω ενέργεια για να φανταστώ τον τριγωνομετρικό κύκλο.
τελευταία επεξεργασία από nikhtas30 σε Δευ Αύγ 24, 2020 3:14 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


nikhtas30
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 25, 2019 5:04 pm

Re: Γενική. ...

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikhtas30 » Δευ Αύγ 24, 2020 2:57 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Αύγ 24, 2020 12:31 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Αύγ 22, 2020 2:15 pm

(ε) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της f.
inverse.png

nikhtas30 έγραψε:
Κυρ Αύγ 23, 2020 11:24 pm

δ)το σύνολο τιμών της f είναι [0,p]
Νομίζω ότι για το σύνολο τιμών θέλει να πούμε λίγα παραπάνω.
Το διορθώνω

Χωρίς να κλέψω από την Cf
Στο γ) απέδειξα ότι f_{-1}(x)=cosx λίγο πριν φτάσω στο τέλος της ζητούμενης απόδειξής για κάθε χ ανήκει [0,p], οπότε το σύνολο τιμών της f είναι το [0,p].

Ωραία άσκηση, αν έχετε την διάθεση και τον χρόνο θα μου έδινε μεγάλη χαρά αν μου δίνατε ακόμη μια ευκαιρία να σας αποδείξω ότι μπορώ να λύσω τέτοιες ασκήσεις άνετα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες