Με απλά υλικά (29)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (29)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Σεπ 11, 2020 1:31 pm

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός \displaystyle a και οι συναρτήσεις με τύπους :
\displaystyle f(x)=\frac{{{e}^{x}}-a}{{{e}^{x}}-x} και \displaystyle g(x)=a({{e}^{x}}-1)-{{e}^{x}}(x-1), για κάθε \displaystyle x\in R.
α) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \displaystyle g(x)=0 για τις διάφορες τιμές του \displaystyle a\in R
β) Να βρείτε τις τιμές του \displaystyle a\in R ώστε η \displaystyle f να έχει τοπικό μέγιστο και ελάχιστο .
γ) Αν η \displaystyle f έχει τοπικό ακρότατο για \displaystyle x=p, δείξετε ότι \displaystyle f(p)=\frac{a}{p-1}
δ) Γνωρίζοντας ότι \displaystyle f(x)\le {{x}^{2}}+x για κάθε \displaystyle x\in R, να βρείτε το \displaystyle a\in R .
ε) Για \displaystyle a=1 και \displaystyle k>1, να αποδείξετε ότι : \displaystyle \underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \int_{1}^{k}{(f(x)-1)}\,\,dx \right)=\int_{0}^{1}{\left( 1-f(x) \right)dx}

Υ.Γ. : Παρακαλώ , τα σχόλια μετά τη λύση , ή σε π.μ.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1548
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Με απλά υλικά (29)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Σεπ 21, 2020 1:19 pm

exdx έγραψε:
Παρ Σεπ 11, 2020 1:31 pm
Δίνεται ο πραγματικός αριθμός \displaystyle a και οι συναρτήσεις με τύπους :
\displaystyle f(x)=\frac{{{e}^{x}}-a}{{{e}^{x}}-x} και \displaystyle g(x)=a({{e}^{x}}-1)-{{e}^{x}}(x-1), για κάθε \displaystyle x\in R.
α) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \displaystyle g(x)=0 για τις διάφορες τιμές του \displaystyle a\in R
β) Να βρείτε τις τιμές του \displaystyle a\in R ώστε η \displaystyle f να έχει τοπικό μέγιστο και ελάχιστο .
γ) Αν η \displaystyle f έχει τοπικό ακρότατο για \displaystyle x=p, δείξετε ότι \displaystyle f(p)=\frac{a}{p-1}
δ) Γνωρίζοντας ότι \displaystyle f(x)\le {{x}^{2}}+x για κάθε \displaystyle x\in R, να βρείτε το \displaystyle a\in R .
ε) Για \displaystyle a=1 και \displaystyle k>1, να αποδείξετε ότι : \displaystyle \underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \int_{1}^{k}{(f(x)-1)}\,\,dx \right)=\int_{0}^{1}{\left( 1-f(x) \right)dx}

Υ.Γ. : Παρακαλώ , τα σχόλια μετά τη λύση , ή σε π.μ.

...Καλημέρα :logo: ..γειά σου Γιώργη...

ΛΥΣΗ
α) Η εξίσωση \displaystyle g(x)=0γράφεται ισοδύναμα

a({{e}^{x}}-1)-{{e}^{x}}(x-1)=0\Leftrightarrow a({{e}^{x}}-1)={{e}^{x}}(x-1)\overset{x\ne 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,a=\frac{{{e}^{x}}(x-1)}{{{e}^{x}}-1}(1)

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=\frac{{{e}^{x}}(x-1)}{{{e}^{x}}-1}=\frac{x-1}{1-{{e}^{-x}}},\,\,x\ne 0 που είναι παραγωγίσιμη με

{h}'(x)=\frac{1-{{e}^{-x}}-(x-1){{e}^{-x}}}{{{(1-{{e}^{-x}})}^{2}}}=\frac{1-x{{e}^{-x}}}{{{(1-{{e}^{-x}})}^{2}}}=\frac{{{e}^{x}}-x}{{{e}^{x}}{{(1-{{e}^{-x}})}^{2}}}>0,\,\,x\in (-\infty ,\,0)\cup (0,+\infty )

αφού ως γνωστόν {{e}^{x}}\ge x+1>x,\,\,x\in R επομένως η h είναι γνήσια αύξουσα στα

{{\Delta }_{1}}=(-\infty ,\,0),\,\,\,{{\Delta }_{2}}=(0,+\infty ) οπότε h({{\Delta }_{1}})=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right),\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)),\,\,\,\,\,h({{\Delta }_{2}})=(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right),\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right))

που είναι h({{\Delta }_{1}})=(0,\,+\infty ),\,\,\,\,\,h({{\Delta }_{2}})=(-\infty ,\,\,+\infty )

επειδή \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{1-{{e}^{-x}}}\overset{\left( \frac{+\infty }{+\infty } \right)}{\mathop{=}}\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1{)}'}{(1-{{e}^{-x}}{)}'}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{e}^{-x}}}=0 και

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1-{{e}^{-x}}}(x-1)=+\infty αφού για

x<0\Leftrightarrow 1-{{e}^{-x}}<0,\,\,x-1<0

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1-{{e}^{-x}}}(x-1)=-\infty αφού για x>0\Leftrightarrow 1-{{e}^{-x}}>0,\,\,x-1<0

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{1-{{e}^{-x}}}=+\infty αφού

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(1-{{e}^{-x}})=1

Και με βάση τα προηγούμενα η εξίσωση h(x)=a,\,\,x\ne 0 έχει λύσεις

για a<0 μοναδική στο {{x}_{1}}\in (0,+\infty ), για a=0 μοναδική την x=1 και για a>0 ακριβώς δύο μία {{x}_{2}}\in (-\infty ,\,0)

και μία {{x}_{3}}\in (0,+\infty ).

β) Τώρα για την \displaystyle f(x)=\frac{{{e}^{x}}-a}{{{e}^{x}}-x} που είναι παραγωγίσιμη έχουμε

{f}'(x)=...=\frac{g(x)}{{{({{e}^{x}}-x)}^{2}}}

και σύμφωνα με το (α) είναι {f}'(x)=\frac{({{e}^{x}}-1)(a-h(x))}{{{({{e}^{x}}-x)}^{2}}} και τότε

για a<0θα έχει ένα τοπικό μέγιστο στο {{x}_{1}}\in (0,+\infty ) όπως και για

a=0 άρα για a>0θα έχει ένα τοπικό μέγιστο στο {{x}_{3}}\in (0,+\infty ) και ένα τοπικό ελάχιστο στο {{x}_{2}}\in (-\infty ,\,0).

γ) Αν έχει ακρότατο στο σημείο \displaystyle x=pτότε σύμφωνα με το Θ.Fermat {f}'\left( p \right)=0 δηλαδή

\frac{g(p)}{{{({{e}^{p}}-p)}^{2}}}=0\Leftrightarrow g(p)=0\Leftrightarrow a({{e}^{p}}-1)-{{e}^{p}}(p-1)=0\Leftrightarrow a{{e}^{p}}-a-{{e}^{p}}(p-1)=0\Leftrightarrow

{{e}^{p}}(a-p+1)=a(1) και θέλουμε να δείξουμε ότι \displaystyle f(p)=\frac{a}{p-1} ή \displaystyle f(p)=\frac{a}{p-1} ή

\frac{{{e}^{p}}-a}{{{e}^{p}}-p}=\frac{a}{p-1}\Leftrightarrow p{{e}^{p}}-{{e}^{p}}-ap+a=a{{e}^{p}}-ap\Leftrightarrow p{{e}^{p}}-{{e}^{p}}+a=a{{e}^{p}} που ισχύει λόγω της (1)

δ) Αφού ισχύει ότι \displaystyle f(x)\le {{x}^{2}}+x για κάθε \displaystyle x\in R, τότε θα ισχύει ότι f(0)\le 0\Leftrightarrow 1-a\le 0\Leftrightarrow a\ge 1

ε) Για α=1 είναι f(x)=\frac{{{e}^{x}}-1}{{{e}^{x}}-x} και \int\limits_{1}^{k}{(f(x)-1)}dx=\int\limits_{1}^{k}{(\frac{{{e}^{x}}-1}{{{e}^{x}}-x}-1)}dx=\int\limits_{1}^{k}{(\frac{({{e}^{x}}-x{)}'}{{{e}^{x}}-x}-1)}dx=\left[ \ln ({{e}^{x}}-x)-x \right]_{1}^{k}=

=\left( \ln ({{e}^{k}}-k)-k \right)-\left[ \ln (e-1)-1 \right]=\ln \left( \frac{{{e}^{k}}-k}{{{e}^{k}}} \right)-\left( \ln (e-1)-1 \right) τώρα επειδή

\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{k}}-k}{{{e}^{k}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{k}{{{e}^{k}}} \right)=1

είναι \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{1}^{k}{(f(x)-1)}dx=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \ln \left( \frac{{{e}^{k}}-k}{{{e}^{k}}} \right)-\left( \ln (e-1)-1 \right) \right)=

=0-\left( \ln (e-1)-1 \right)=1-\ln (e-1)=\displaystyle \underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \int_{1}^{k}{(f(x)-1)}\,\,dx \right)=\int_{0}^{1}{\left( 1-f(x) \right)dx}. (…όμοια όπως προηγούμενα για το τελευταίο ολοκλήρωμα…)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης