Παραλλαγή στο Δ20-Ν

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Παραλλαγή στο Δ20-Ν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Σεπ 28, 2020 11:36 am

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός \displaystyle k>0 και η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=-{{x}^{2}}+kx+2x\ln x, για κάθε \displaystyle x>0
Δ1. Να την ορίσετε κατάλληλα στο \displaystyle x=0, ώστε να είναι συνεχής στο \displaystyle [0,+\infty )
Δ2. Να αποδείξετε ότι έχει τρία τοπικά ακρότατα και ένα σημείο καμπής .
Δ3. Αν εμφανίζει τοπικά ακρότατα στα \displaystyle a,b\in (0,+\infty ) με \displaystyle a<b και σημείο καμπής στο \displaystyle c\in (0,+\infty ) , να βρείτε τις γραμμές στις οποίες ανήκουν τα \displaystyle A(a,f(a)),B(b,f(b)),C(c,f(c)) και να δείξετε ότι η γραμμή του \displaystyle C είναι άξονας συμμετρίας της γραμμής των \displaystyle A,B.
Δ4. Δείξετε ότι η εφαπτόμενη της \displaystyle {{C}_{f}} στο \displaystyle C διέρχεται από σταθερό σημείο και έπειτα βρείτε την εφαπτομένη που διέρχεται από την αρχή των αξόνων .
Δ5. Υποθέτουμε ότι \displaystyle k>1 . Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \displaystyle p\in (0,a) ώστε να ισχύει : \displaystyle f(p)(1-a)=(k-1)(p-a) και κατόπιν ότι ισχύει : \displaystyle {f}'(m)f(p)(a-1)<[f(a)-f(p)](k-1) για κάθε \displaystyle m\in (0,p) .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης