Για παραδειγματισμό

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Για παραδειγματισμό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 24, 2021 11:55 am

Έστω : a\in \mathbb{R} . Αν μια συνάρτηση f είναι γν. αύξουσα σε καθένα

από τα διαστήματα (-\infty , a) και (a , +\infty ) , τότε :

α) Υπάρχει περίπτωση η f να παρουσιάζει ολικό ελάχιστο , στο x_{0}=a

β) Υπάρχει περίπτωση η f να παρουσιάζει ολικό μέγιστο , στο x_{0}=a .

Σε κάθε ερώτημα από τα παραπάνω , αν η απάντησή σας είναι όχι , δικαιολογήστε την .

Αν είναι ναι , δώστε παράδειγμα .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13472
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Για παραδειγματισμό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 24, 2021 2:29 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 24, 2021 11:55 am
Έστω : a\in \mathbb{R} . Αν μια συνάρτηση f είναι γν. αύξουσα σε καθένα

από τα διαστήματα (-\infty , a) και (a , +\infty ) , τότε :

α) Υπάρχει περίπτωση η f να παρουσιάζει ολικό ελάχιστο , στο x_{0}=a

β) Υπάρχει περίπτωση η f να παρουσιάζει ολικό μέγιστο , στο x_{0}=a .

Σε κάθε ερώτημα από τα παραπάνω , αν η απάντησή σας είναι όχι , δικαιολογήστε την .

Αν είναι ναι , δώστε παράδειγμα .
H απάντηση μου είναι λάθος. Δείτε τα παρακάτω ποστ. Το αφήνω για να μην μένουν μετέωρα τα σωστά σχόλια που έπονται.
Ευχαριστώ όλους για τηνεπισήμανση.


α) όχι

Αν στο x_o=a η f είχε ολικό ελάχιστο τότε σε μία περιοχή του αριστερά του a οι τιμές της f θα ήταν μεγαλύτερες ή ίσες από f(a). Όμως αυτό δεν γίνεται γιατί η συνάρτηση εκεί είναι γνήσια αύξουσα (άρα οι τιμές της είναι γνήσια μικρότερες από το f(a)).

β) όχι.

Όμοια.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Φεβ 24, 2021 8:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 412
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για παραδειγματισμό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Φεβ 24, 2021 6:25 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Φεβ 24, 2021 2:29 pm
KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 24, 2021 11:55 am
Έστω : a\in \mathbb{R} . Αν μια συνάρτηση f είναι γν. αύξουσα σε καθένα

από τα διαστήματα (-\infty , a) και (a , +\infty ) , τότε :

α) Υπάρχει περίπτωση η f να παρουσιάζει ολικό ελάχιστο , στο x_{0}=a

β) Υπάρχει περίπτωση η f να παρουσιάζει ολικό μέγιστο , στο x_{0}=a .

Σε κάθε ερώτημα από τα παραπάνω , αν η απάντησή σας είναι όχι , δικαιολογήστε την .

Αν είναι ναι , δώστε παράδειγμα .
α) όχι

Αν στο x_o=a η f είχε ολικό ελάχιστο τότε σε μία περιοχή του αριστερά του a οι τιμές της f θα ήταν μεγαλύτερες ή ίσες από f(a). Όμως αυτό δεν γίνεται γιατί η συνάρτηση εκεί είναι γνήσια αύξουσα (άρα οι τιμές της είναι γνήσια μικρότερες από το f(a)).

β) όχι.

Όμοια.
Κύριε Λάμπρου νομίζω ότι απαντήσατε λάθος στο α).
Αν πάρουμε την f(x)=e^x για x \neq 0 και f(0)=-1 τότε η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το a=0.
Χρειαζόμαστε συνέχεια για να αποφανθούμε.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 412
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για παραδειγματισμό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Φεβ 24, 2021 6:59 pm

Το ίδιο και για το β)
Έστω f(x)= e^x για x<0 και f(x)=-\frac{1}{x^2} για x>0 και τέλος f(0)=2f έχει ολικό μέγιστο στο a=0.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Για παραδειγματισμό

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Φεβ 24, 2021 7:22 pm

Θανάση το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ποιο είναι; Δηλαδή περιέχει το a;


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Για παραδειγματισμό

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 24, 2021 7:28 pm

Η διατύπωση είναι αυτή , δηλαδή δεν δίνω την πληροφορία αν το a ανήκει στο πεδίο ορισμού .

Ο λύτης πρέπει να σκεφθεί αν η εκφώνηση επιτρέπει ή μη την παρουσία του a στο D_{f} .


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2292
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Για παραδειγματισμό

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Φεβ 24, 2021 7:40 pm

SSf(x)=\left\{\begin{matrix} x/(x+1)-1,x>0\\(2x+2)/(2x+1),x\le 0 \end{matrix}\right.
εχει ολ μεγιστο στο 0 και ειναι γν αυξουσα

SSf(x)=\left\{\begin{matrix} x/(x+1)-1,x\ge 0\\(2x+2)/(2x+1),x< 0 \end{matrix}\right.
εχει ολ ελάχιστο στο 0 και ειναι γν αυξουσα


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 412
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για παραδειγματισμό

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Φεβ 24, 2021 8:01 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 24, 2021 7:28 pm
Η διατύπωση είναι αυτή , δηλαδή δεν δίνω την πληροφορία αν το a ανήκει στο πεδίο ορισμού .

Ο λύτης πρέπει να σκεφθεί αν η εκφώνηση επιτρέπει ή μη την παρουσία του a στο D_{f} .
Αφού μιλάει για ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο στο a, προφανώς πρέπει το a να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13472
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Για παραδειγματισμό

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 24, 2021 9:21 pm

stranger έγραψε:
Τετ Φεβ 24, 2021 6:25 pm

Κύριε Λάμπρου νομίζω ότι απαντήσατε λάθος στο α).
Αν πάρουμε την f(x)=e^x για x \neq 0 και f(0)=-1 τότε η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το a=0.
Χρειαζόμαστε συνέχεια για να αποφανθούμε.
Κωνσταντίνε, έχεις δίκιο.

Παρανάγνωσα την άσκηση. :oops: Απάντησα σε άλλη ερώτηση.

Συνοψίζοντας: Η απάντηση στην αρχική άσκηση είναι καταφατική και στα δύο ερωτήματα. Ήδη έχουν δοθεί παραδείγματα αλλά δύο πιο απλά είναι τα εξής

α)  f(x) = \dfrac {x}{1+|x|} για x\ne 0.

Τώρα, για f(0)=-2021 έχουμε παράδειγμα για την α) ενώ για f(0)=2021 έχουμε παράδειγμα για την β).

β) Εναλλακτικά, η f(x) = \arctan x για x\ne 0.

Όπως στην προηγούμενη, για f(0)=-2021 έχουμε παράδειγμα για την α) ενώ για f(0)=2021 έχουμε παράδειγμα για την β).

Παρακάτω τα γραφήματα του ζεύγους στο α) και ξανά, του β) (μοιάζουν).
Συνημμένα
oliko min max.png
oliko min max.png (3.57 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Για παραδειγματισμό

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 25, 2021 7:41 am

ακρότατα.png
ακρότατα.png (7.14 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές
Βάζω κι αυτό το παράδειγμα για να τονίσω το εξής . Επειδή δίνεται η f γνησίως αύξουσα στο (1 , +\infty )

αυτό δεν αποκλείει το να είναι η f γνησίως αύξουσα στο [1 , +\infty ) .


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 412
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για παραδειγματισμό

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Φεβ 25, 2021 12:16 pm

Αν υποθέσουμε συνέχεια στο a ποιες είναι οι απαντήσεις στο α) και στο β);


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Για παραδειγματισμό

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 25, 2021 1:19 pm

ΘΕΩΡΗΜΑ σελίδας 144

Έστω μια συνάρτηση  f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (a,b), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του  x_{0} ,

στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

i) Αν  f '(x) > 0 στο (a, x_{0}) και  f '(x) < 0 στο (x_{0 }, b), τότε το f(x_{0}) είναι τοπικό μέγιστο της  f .

ii) Αν f '(x) < 0  στο (a, x_{0}) και f '(x) > 0 στο (x_{0} , b), τότε το f(x_{0}) είναι τοπικό ελάχιστο της f.

iii) Aν η  f '(x) διατηρεί πρόσημο στο (a, x_{0}) ∪ (x_{0}, b), τότε το f(x_{0}) δεν είναι τοπικό ακρότατο

και η  f είναι γνησίως μονότονη στο (a, b) . ( Το a της εκφώνησης είναι το x_{0} )

Η απάντηση για μια κατηγορία συναρτήσεων ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης