Βασικές γνώσεις

KARKAR · #1

: Βασικές γνώσεις.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

Το σημείο

κινείται πάνω στην $C_{f}$ . Η εφαπτομένη της καμπύλης στο

, τέμνει τους άξονες

στα σημεία A , B

.... α) Δείξτε ότι η

είναι κυρτή .

β) Δείξτε ότι , $\forall x>0$ , ισχύει : $3x^2+2\sqrt{x^2+3}\geq 7x$ .

γ) Υπολογίστε το (OAB)

συναρτήσει της τετμημένης

του σημείου

και βρείτε την θέση του

,

για την οποία : (OAB)=8

. Ποια είναι η μικρότερη ακέραια τιμή που μπορεί να πάρει το (OAB)

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 18, 2021 10:38 am
Βασικές γνώσεις.pngΤο σημείο κινείται πάνω στην $C_{f}$ . Η εφαπτομένη της καμπύλης στο , τέμνει τους άξονες

στα σημεία .... α) Δείξτε ότι η είναι κυρτή .

β) Δείξτε ότι , $\forall x>0$ , ισχύει : $3x^2+2\sqrt{x^2+3}\geq 7x$ .

γ) Υπολογίστε το συναρτήσει της τετμημένης του σημείου και βρείτε την θέση του ,

για την οποία : . Ποια είναι η μικρότερη ακέραια τιμή που μπορεί να πάρει το ;

α) $\displaystyle f'(x) = - \frac{3}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 3} }},f''(x) = \frac{{9({x^2} + 2)}}{{{x^3}\sqrt {{{({x^2} + 3)}^3}} }} > 0$ για κάθε x>0,

άρα

είναι κυρτή.

β) Η εφαπτομένη της $\displaystyle {C_f}$ στο x_0=1

έχει εξίσωση $\displaystyle y = - \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$ κι επειδή η

είναι κυρτή, η εφαπτομένη

θα βρίσκεται κάτω από την $\displaystyle {C_f}$ (με εξαίρεση το σημείο επαφής). Άρα $\boxed{3x^2+2\sqrt{x^2+3}\geq 7x, x>0}$

: Βασικές γνώσεις.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

γ) $\displaystyle AB:y = - \frac{3}{{{k^2}\sqrt {{k^2} + 3} }}(x - k) + \frac{{\sqrt {{k^2} + 3} }}{k},$ απ' όπου $\displaystyle A\left( {\frac{{k({k^2} + 6)}}{3},0} \right)$ και $\displaystyle B\left( {0,\frac{{{k^2} + 6}}{{k\sqrt {{k^2} + 3} }}} \right)$

$\displaystyle (OAB) = 8 \Leftrightarrow \frac{{{{({k^2} + 6)}^2}}}{{\sqrt {{k^2} + 3} }} = 48$ απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{k=\sqrt 6}$

H συνάρτηση του εμβαδού είναι $\displaystyle g(x) = \frac{{{{({x^2} + 6)}^2}}}{{6\sqrt {{x^2} + 3} }},x > 0$ με παράγωγο $\displaystyle g'(x) = \frac{{({x^2} + 2)({x^2} + 6)}}{{2\sqrt {{{({x^2} + 3)}^3}} }} > 0$

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα κι επειδή $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 2\sqrt 3 \simeq 3,4641,$ η μικρότερη ακέραιη τιμή που μπορεί να πάρει το εμβαδόν είναι

Βασικές γνώσεις

Βασικές γνώσεις

Re: Βασικές γνώσεις

Μέλη σε σύνδεση