Ακρότατα και αντιστροφή

KARKAR · #1

Α) Βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης : $g(x)=x-\sqrt{x^2-4}$ και το ελάχιστο της : $h(x)=e^{x-2}+e^{2-x}$ .

Β) Ονομάζουμε

τον περιορισμό της

, στο διάστημα που είναι γνησίως αύξουσα . Βρείτε την αντίστροφη της

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 11, 2021 7:20 pm
Α) Βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης : $g(x)=x-\sqrt{x^2-4}$ και το ελάχιστο της : $h(x)=e^{x-2}+e^{2-x}$ .

Β) Ονομάζουμε τον περιορισμό της , στο διάστημα που είναι γνησίως αύξουσα . Βρείτε την αντίστροφη της .

Για την

πεδίο ορισμού $|x| \ge 2$ και αφού για x<0

η

είναι αρνητική ενώ προφανώς παίρνει και θετικές τιμές στα θετικά

, το μέγιστο λαμβάνεται κάπου με $x\ge 2$ . Για αυτά τα

είναι

$g(x)= \dfrac {x^2-(x^2-4)}{x+\sqrt {x^2-4}}=\dfrac {4}{x+\sqrt {x^2-4}}$ που είναι προφανώς φθίνουσα, Άρα το μέγιστο είναι όταν x=2

, όπου

.

Για την

είναι $h(x)=e^{x-2}+e^{2-x}= y+ \dfrac {1}{y} \ge 2$ με ισότητα οταν y=1

, που σημαίνει $e^{x-2}=1$ , δηλαδή x=2

. To ίδιο βγαίνει και με παραγώγιση της

, από όπου εύκολα διαπιστώνουμε ότι είναι αύξουσα όταν $x\ge 2$ . Εκεί για την αντίστροφη λύνουμε την

$\displaystyle{e^{y-2}+e^{2-y}=x}$ ισοδύναμα $e^{2y} - xe^{2}e^y +e^4=0$ . Λύνοντας την δευτεροβάθμια ως προς e^y

θα βρούμε $y= 2-\ln \dfrac {x \pm \sqrt {x^2-4} }{2}$ και κρατάμε το "συν".

#3

: Ακρότατα και Αντιστροφή.png (45.79 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

Ακρότατα και αντιστροφή

Ακρότατα και αντιστροφή

Re: Ακρότατα και αντιστροφή

Re: Ακρότατα και αντιστροφή

Μέλη σε σύνδεση