Με απλά υλικά (34)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1737
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (34)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Ιαν 02, 2022 3:22 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle g:[0,+\infty )\to R με τύπο \displaystyle g(x)=x-2\sqrt{x}+1
α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle g(g(x))=x , για κάθε \displaystyle x\in [0,1]
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle g(x)=x-2\sqrt{x}+1 ,με \displaystyle x\in [0,1] αντιστρέφεται
και να ορίσετε την \displaystyle {{g}^{-1}}
γ) Να ορίσετε τη συνάρτηση \displaystyle h:[0,+\infty )\to R με τύπο \displaystyle h(x)=g(g(x))
δ) Να μελετήσετε την \displaystyle h ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
ε) Δείξετε ότι η \displaystyle h είναι κυρτή στο \displaystyle [1,+\infty )
ζ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης \displaystyle (\varepsilon ) της \displaystyle {{C}_{h}} στο σημείο \displaystyle A(a,h(a)) με \displaystyle a\in (1,4)
η) Να δείξετε ότι η \displaystyle (\varepsilon )τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε σημείο \displaystyle K(c,0) με \displaystyle c\in (a,4)
και τη \displaystyle {{C}_{h}} σε σημείο \displaystyle B(b,b) με \displaystyle b\in (0,1).
θ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν \displaystyle E του τριγώνου \displaystyle KOB δίνεται από τη σχέση \displaystyle E=2a-a\sqrt{a}
και να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή του \displaystyle E .

Σχόλιο: το (α) είναι άσκηση του σχολικού βιβλίου


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
thepigod762
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
Τοποθεσία: Λάρισα

Re: Με απλά υλικά (34)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thepigod762 » Δευ Ιαν 03, 2022 1:29 am

exdx έγραψε:
Κυρ Ιαν 02, 2022 3:22 pm
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle g:[0,+\infty )\to R με τύπο \displaystyle g(x)=x-2\sqrt{x}+1
α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle g(g(x))=x , για κάθε \displaystyle x\in [0,1]
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle g(x)=x-2\sqrt{x}+1 ,με \displaystyle x\in [0,1] αντιστρέφεται
και να ορίσετε την \displaystyle {{g}^{-1}}
γ) Να ορίσετε τη συνάρτηση \displaystyle h:[0,+\infty )\to R με τύπο \displaystyle h(x)=g(g(x))
δ) Να μελετήσετε την \displaystyle h ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
ε) Δείξετε ότι η \displaystyle h είναι κυρτή στο \displaystyle [1,+\infty )
ζ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης \displaystyle (\varepsilon ) της \displaystyle {{C}_{h}} στο σημείο \displaystyle A(a,h(a)) με \displaystyle a\in (1,4)
η) Να δείξετε ότι η \displaystyle (\varepsilon )τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε σημείο \displaystyle K(c,0) με \displaystyle c\in (a,4)
και τη \displaystyle {{C}_{h}} σε σημείο \displaystyle B(b,b) με \displaystyle b\in (0,1).
θ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν \displaystyle E του τριγώνου \displaystyle KOB δίνεται από τη σχέση \displaystyle E=2a-a\sqrt{a}
και να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή του \displaystyle E .

Σχόλιο: το (α) είναι άσκηση του σχολικού βιβλίου
α) g(x)=x-2\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}-1)^{2}

Είναι \sqrt{(\sqrt{x}-1})^{2}=1-\sqrt{x},\forall x \epsilon [0,1].
Οπότε
g(g(x))=(\sqrt{(\sqrt{x}-1)^{2}}-1)^{2}=(1-\sqrt{x}-1)^{2}=x

β) Έστω g(x_1)=g(y_1)\Leftrightarrow (\sqrt{x_1}-1)^{2}=(\sqrt{y_1}-1)^{2}\Leftrightarrow 1-\sqrt{x_1}=1-\sqrt{y_1}\Leftrightarrow x_1=y_1, x_1,x_2 \epsilon [0,1], άρα η g είναι 1-1 και αντιστρέφεται.

Θέτουμε
 g(x)=y \Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^{2}=y\Leftrightarrow 1-\sqrt{x}=\sqrt{y}\Leftrightarrow x=(1-\sqrt{y})^{2}

Άρα g^{-1}(y)=(1-\sqrt{y})^{2} και η αντίστροφη της g είναι η g^{-1}(x)=(1-\sqrt{x})^{2}=(\sqrt{x}-1)^{2}=g(x)

γ) h(x)=g(g(x))=(\sqrt{(\sqrt{x}-1)^{2}}-1)^{2}=\begin{cases}(1-\sqrt{x}-1)^{2}=x,x\epsilon [0,1]\\{(\sqrt{x}-2)^{2},x\epsilon [1,+\infty) \end{cases}

δ) Για x\epsilon[0,1] η h είναι παραγωγίσιμη με h'(x)=1> 0, οπότε είναι γνησίως αύξουσα και παρουσιάζει ελάχιστο για x=0 το h(0)=0
Για x\epsilon [1,4] η h είναι παραγωγίσιμη με h'(x)=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}}< 0, οπότε είναι γνησίως φθίνουσα.
Για x\epsilon [4,+\infty) η h είναι παραγωγίσιμη με h'(x)=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}}> 0, οπότε είναι γνησίως αύξουσα.

Για x\epsilon [1,+\infty), h'(x)=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{2}{\sqrt{x}}=0\Leftrightarrow x=4. Είναι επίσης h''(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}> 0. Οπότε η h παρουσιάζει ελάχιστο για x=4 το h(4)=0.

ε) Όπως βρήκαμε για x\epsilon [1,+\infty) είναι h''(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}> 0. Οπότε η h είναι κυρτή.

ζ) Η (\epsilon) έχει συντελεστή διεύθυνσης h'(a)=1-\dfrac{1}{\sqrt{a}} και εξίσωση y-(\sqrt{a}-2)^{2}=(1-\dfrac{2}{\sqrt{a}})(x-a)\Leftrightarrow y=(1-\dfrac{2\sqrt{a}}{a})x-2\sqrt{a}+4

η) Όταν τέμνει τον οριζόντιο άξονα θα είναι (1-\dfrac{2\sqrt{a}}{a})x-2\sqrt{a}+4=0\Leftrightarrow x=\dfrac{a(2\sqrt{a}-4)}{a-2\sqrt{a}}


Αρκεί να αποδειχθούν οι ανισώσεις:
\dfrac{a(2\sqrt{a}-4)}{a-2\sqrt{a}}> a\Leftrightarrow 2\sqrt{a}-4< a-2\sqrt{a}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-2)^{2}> 0, η οποία ισχύει
και
\dfrac{a(2\sqrt{a}-4)}{a-2\sqrt{a}}< 4\Leftrightarrow a(2\sqrt{a}-4)> 4a-8\sqrt{a}\Leftrightarrow (a-4)^{2}> 0, η οποία επίσης ισχύει.

Το θ) το αφήνω.


Γιώργος Κοτσάλης
kfd
Δημοσιεύσεις: 229
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Με απλά υλικά (34)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Δευ Ιαν 03, 2022 11:47 am

η. x=\frac{2a\left ( \sqrt{a}-2 \right )}{\sqrt{a}\left ( \sqrt{a}-2 \right )}=2\sqrt{a}
x=\left ( 1-\frac{2}{\sqrt{a}} \right )x+4-2\sqrt{a}\Leftrightarrow x=2\sqrt{a}-a=b με b\epsilon \left ( 0,1 \right )
αφού b=1-\left ( \sqrt{a}-1 \right )^{2} και a\epsilon \left ( 1,4 \right ).
θ. (KOB)=0.5\cdot( 4a-2a\sqrt{a})=2a-a\sqrt{a}
με τον περιορισμό a\epsilon \left ( 1,4 \right ).
Η ρίζα της Ε΄ είναι το 16/9 και η Ε παρουσιάζει max σ' αυτό που είναι το Ε(16/9)=32/27.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες