Με απλά υλικά (37)

#1

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle f:[0,+\infty )\to R$ ώστε για κάθε $\displaystyle x>0$ να ισχύει :
$\displaystyle f(x)>0$ και $\displaystyle xf(x)\ln [f(x)]+{{x}^{2}}{f}'(x)=f(x)$ με $\displaystyle {f}'(1)=1$
α) Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle f$ για κάθε $\displaystyle x>0$ και να την ορίσετε κατάλληλα στο $\displaystyle x=0$ .
β) Δείξτε ότι $\displaystyle e\ln [f(x)]\le 1$ , για κάθε $\displaystyle x > 0$
γ) Δείξτε ότι έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $\displaystyle +\infty$
δ) Βρείτε την εφαπτομένη που διέρχεται από το $\displaystyle (0,0)$ και δείξτε κατόπιν ότι $\displaystyle f(x)\le x$

Edit : τα μπλέ (Ευχαριστώ το Χρήστο Ντάβα)

ma128 · #2

α)Έχω ότι: $xf(x)lnf(x)+x^2{f}'(x)=f(x)$ (A)

Για x=1

στη σχέση (A), παίρνω: $ln(f(1))-1+\frac{1}{f(1)}=0$

Θεωρώ τη συνάρτηση: $g(x)=lnx-1+\frac{1}{x}$ , x>0

Παρατηρώ ότι: g(1)=0

H

είναι παραγωγίσιμη για x>0

με ${g}'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$

Διαπιστώνω οτι: {g}'(x)<0

για

,

και

για

Επομένως η

είναι γνησίως φθίνουσα για 0<x<1

και γνησίως αύξουσα για x>1

και έτσι εμφανίζει ολικό ελάχιστο για x=1

, το

Δηλαδή, ισχύει: $g(x)\geq g(1)=0$ για κάθε x>0

Άρα η

έχει μοναδική ρίζα την x=1

για

Και επομένως, f(1)=1

Διαιρώ τη σχέση (A) με xf(x)

, αφού

και

για

Επομένως, η σχέση (A) γίνεται: $lnf(x)+x\frac{{f}'(x)}{{f}(x)}=\frac{1}{x}<=>{(x)}'lnf(x)+x{(lnf(x))}'={(lnx)}'<=>{(xlnf(x))}'={(lnx)}'$

Άρα υπάρχει

ανήκει

, τέτοιο ώστε: xlnf(x)=lnx+c

,

Για

προκύπτει: c=0

και επομένως: $xlnf(x)=lnx<=>f(x)=e^{\frac{lnx}{x}}$ , x>0

Η

είναι συνεχής για χ=0

, άρα ισχύει: $f(0)=lim_{x\rightarrow 0}f(x)=lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{lnx}{x}}=e^{-\propto }=0$

Καθώς: $lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{lnx}{x}=-\propto \frac{1}{0^+}=-\propto (+\propto )=-\propto$

β) $elnf(x)\leq 1$ για x=0

, ισχύει: $elnf(0)=eln0^+=-\propto <1$

Για x>0

έχουμε: $elnf(x)\leq 1<=>\frac{lnx}{x}\leq \frac{1}{e}$

Αρκεί λοιπόν, να δείξω ότι: $\frac{lnx}{x}\leq \frac{1}{e}$ για κάθε x>0

Θεωρώ τη συνάρτηση: $h(x)=\frac{lnx}{x}$ , χ>0

Η

είναι παραγωγίσιμη για χ>0

με ${h}'(x)=\frac{1-x}{x^2}$

Διαπιστώνω ότι: {h}'(x)>0

για

,

και

για

Επομένως: η

είναι γνησίως αύξουσα για x<1

, γνησίως γθίνουσα για x>1

και παρουσιάζει ολικό μέγιστο για x=1

, το

Δηλαδή ισχύει για κάθε χ>0

: $h(x)\leq h(1)<=>\frac{lnx}{x}\leq \frac{1}{e}$

γ)Αρκεί να δείξω οτι το όριο της

στο $+\propto$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός

$lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=lim_{x\rightarrow +\propto }e^{\frac{lnx}{x}}=e^0=1$

Καθώς: l $im_{x\rightarrow +\propto }\frac{lnx}{x}=lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{1}{x}=0$

Επομένως η ευθεία: y=1

είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

στο $+\propto$

δ)Η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

στο

είναι: $y={f}'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Για y=x=0

η εξίσωση γίνεται: $f(x_0)=x_0{f}'(x_0)$ παρατηρώ ότι για x_0=1

η εξίσωση ικανοποιείται

Επομένως η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

που διέρχεται απο το O(0,0)

είναι η ευθεία: y=x

$f(x)\leq x$ Για x=1

έχουμε

Ισχύει ισότητα! (1)

$f(x)\leq x<=>e^{\frac{lnx}{x}}\leq x<=>\frac{lnx}{x}\leq lnx$

Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι $\frac{lnx}{x}\leq lnx$ για κάθε x>0

Για

έχουμε: $x<1<=>\frac{1}{x}>1<=>\frac{lnx}{x}<lnx$ καθώς x<1<=>lnx<ln1=0

(2)

Για x=1

έχουμε

ισχύει ισότητα! (3)

Για x>1

έχουμε: $x>1<=>\frac{1}{x}<1<=>\frac{lnx}{x}<lnx$ αφού x>1<=>lnx>ln1=0

(4)

Απο τις (1),(2),(3),(4) προκύπτει ότι : $f(x)\leq x$ για κάθε: $x\geq 0$

ma128 · #3

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 12:43 am
$lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=lim_{x\rightarrow +\propto }e^{\frac{lnx}{x}}=e^0=1$

Καθώς: l $im_{x\rightarrow +\propto }\frac{lnx}{x}=lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{1}{x}=0$

Επι της ευκαιρίας θα ήθελα να θέσω ένα ερώτημα.Πως θα μπορούσαμ να υπολογίσουμε το συγκεκριμένο όριο, χωρίς Del Hospital.
Την ίδια απορία έχω και για τα $lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin}{x}$ , $lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x}$ , $lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{e^x}{x}$ , $lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}$

#4

$\displaystyle{1>\frac{sinx}{x}>cosx}$

$\displaystyle{\frac{1-cosx}{x}=-\frac{cosx-cos0}{x-0}=...}$

$\displaystyle{e^x>1+x+x^2/2,x>0}$

$\displaystyle{\frac{e^x-1}{x}=\frac{e^x-e^0}{x-0}=...}$

ma128 · #5

R BORIS έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 9:14 am
$\displaystyle{1>\frac{sinx}{x}>cosx}$

$\displaystyle{\frac{1-cosx}{x}=-\frac{cosx-cos0}{x-0}=...}$

$\displaystyle{e^x>1+x+x^2/2,x>0}$

$\displaystyle{\frac{e^x-1}{x}=\frac{e^x-e^0}{x-0}=...}$

Ευχαριστώ πολύ.

#6

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 12:43 am
δ) Η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο είναι: $y={f}'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$
Για η εξίσωση γίνεται: $f(x_0)=x_0{f}'(x_0)$ παρατηρώ ότι για η εξίσωση ικανοποιείται
Επομένως η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της που διέρχεται απο το είναι η ευθεία:

Έτσι δεν αποκλείεται η ύπαρξη κι άλλης εφαπτομένης
Πρέπει γίνει κάπως έτσι
$\displaystyle f(x) = xf'(x) \Leftrightarrow {e^{\frac{{\ln x}}{x}}} = x{e^{\frac{{\ln x}}{x}}}\frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = 1 - \ln x \Leftrightarrow x = 1$ (μοναδική ρίζα)
Άρα μοναδική εφαπτομένη η y=x

#7

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 1:26 am
Επι της ευκαιρίας θα ήθελα να θέσω ένα ερώτημα.Πως θα μπορούσαμ να υπολογίσουμε το συγκεκριμένο όριο, χωρίς Del Hospital.
Την ίδια απορία έχω και για τα $lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin}{x}$ ,

Υπάρχει στο Σχολικό βιβλίο στο σημείο όπου προετοιμάζει να βρούμε την παράγωγο του ημιτόνου.

Μας δίνεται εδώ η ευκαιρία για να ξεκαθαρίσεις ένα σημείο που πολλοί μαθητές και φοιτητές προσπερνούν άκριτα. Και αυτό είναι η απάντηση στο ερώτημα

"Γιατί ξαφνικά στο Λύκειο εργαζόμαστε με ακτίνια ενώ σε μικρότερες τάξεις δουλεύαμε με μοίρες; Δεν μας κάνουν οι μοίρες όταν μελατάμε παραγώγους;"

Αν δεν μπορείς να απαντήσεις στο παραπάνω ερώτημα, σημαίνει ότι πρέπει να το ψάξεις το θέμα. Πρόκειται για κεντρικό σημείο στην μελέτη παραγώγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την απάντησή σου.

mick7 · #8

Νομίζω η (πλούσια) συζήτηση ως συνήθως στο math.stackexchange.com ξεκαθαρίζει αρκετά πράγματα στο ερώτημα που θέτει ο κ.Μιχάλης παραπάνω...

https://math.stackexchange.com/question ... or-radians

Με απλά υλικά (37)

Με απλά υλικά (37)

Re: Με απλά υλικά (37)

Re: Με απλά υλικά (37)

Re: Με απλά υλικά (37)

Re: Με απλά υλικά (37)

Re: Με απλά υλικά (37)

Re: Με απλά υλικά (37)

Re: Με απλά υλικά (37)

Μέλη σε σύνδεση