Αριθμός σημείων τομής

[gbaloglou]

Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ ρίζες () σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ ρίζες () σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.

Ειναι ασαφής η διατύπωση
1 Περιπτωση
Ειναι οι ρίζες των παραγώγων

αντιπαράδειγμα άρα ΛΑΘΟΣ
2 Περίπτωση
Θεωρεί τις ρίζες της
Ειναι άμεσο από Rolle ότι είναι Σωστό.
Διαλέγεται και παίρνεται.

[gbaloglou]

Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ ρίζες () σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.

Ειναι ασαφής η διατύπωση
1 Περιπτωση
Ειναι οι ρίζες των παραγώγων

αντιπαράδειγμα άρα ΛΑΘΟΣ
2 Περίπτωση
Θεωρεί τις ρίζες της
Ειναι άμεσο από Rolle ότι είναι Σωστό.
Διαλέγεται και παίρνεται.

Δεν βλέπω πως σχετίζεται η περίπτωση 2 με το ερώτημα μου, ενώ η περίπτωση 1 δεν μου φαίνεται να δίνει αντιπαράδειγμα^ προφανώς κάτι δεν καταλαβαίνω, ας επαναδιατυπώσω λοιπόν το σωστό-λάθος ερώτημα μου:

Έχουμε δύο συναρτήσεις των οποίων οι συνεχείς παράγωγοι έχουν το πολύ ρίζες σε διάστημα -- το πολύ ρίζες η , το πολύ ρίζες η . Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η έχει το πολύ ρίζες στο ;

[Mihalis_Lambrou]

Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ ρίζες () σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.

Η απάντηση είναι: ΛΑΘΟΣ.

Στο οι συναρτήσεις και

ικανοποιούν και

Συνεπώς οι έχουν το πολύ (και μάλιστα ακριβώς) μία ρίζα η καθεμία αλλά τα γραφήματα των τέμνονται άπειρες φορές, π.χ. σε όλα τα .

[gbaloglou]

Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ ρίζες () σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.

Η απάντηση είναι: ΛΑΘΟΣ.

Στο οι συναρτήσεις και

ικανοποιούν και

Συνεπώς οι έχουν το πολύ (και μάλιστα ακριβώς) μία ρίζα η καθεμία αλλά τα γραφήματα των τέμνονται άπειρες φορές, π.χ. σε όλα τα .

Ωραίο και ισχυρό αντιπαράδειγμα, αυτό που είχα κατά νου ήταν κάτι σαν τις , στο .

σημεία-τομής.png (26.85 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Aς δούμε άλλα παραδείγματα όπου δεν ισχύει το ζητούμενο.

α) Η (ημικύκλιο) και στο (παραβολή). Η παράγωγοι μηδενίζονται από μία φορά (άμεσο) ενώ οι συναρτήσεις τέμνονται σε τέσσερα, όσα οι λύσεις της (τεταρτοβάθμια με ύψωση στο τετράγωνο). Βλέπε πρώτο σχήμα. Φυσικά .

β) Το κάνω με σχεδιασμό των γραφημάτων αλλά θα μπορούσα να γράψω και εξισώσεις, όμως προτιμώ τα γραφήματα γιατί είναι εποπτική η εικόνα. Βλέπε δεύτερο σχήμα.

Το κόκκινο και το μπλε γράφημα έχουν από σημεία όπου μηδενίζεται η παράγωγός τους (είναι στις πράσινες και μαύρες οριζόντιες γραμμές). Όμως τα γραφήματά αυτά τέμνονται σε σημεία (στα κυκλάκια), δηλαδή σε περισσότερα από . Μάλιστα σε περισσότερα από .
.

Edit: Γιώργο, τώρα είδα το μηνυμά σου, αφού τέλειωσα... Στραβομάρα μου. Ίσως δικαιολογείται γιατί ενώ έγραφα, διέκοψα λόγω τηλεφωνήματος.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ ρίζες () σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.

Ειναι ασαφής η διατύπωση
1 Περιπτωση
Ειναι οι ρίζες των παραγώγων

αντιπαράδειγμα άρα ΛΑΘΟΣ
2 Περίπτωση
Θεωρεί τις ρίζες της
Ειναι άμεσο από Rolle ότι είναι Σωστό.
Διαλέγεται και παίρνεται.

Δεν βλέπω πως σχετίζεται η περίπτωση 2 με το ερώτημα μου, ενώ η περίπτωση 1 δεν μου φαίνεται να δίνει αντιπαράδειγμα^ προφανώς κάτι δεν καταλαβαίνω, ας επαναδιατυπώσω λοιπόν το σωστό-λάθος ερώτημα μου:

Έχουμε δύο συναρτήσεις των οποίων οι συνεχείς παράγωγοι έχουν το πολύ ρίζες σε διάστημα -- το πολύ ρίζες η , το πολύ ρίζες η . Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η έχει το πολύ ρίζες στο ;

Καλημέρα Γιώργο.
Εχεις απόλυτα δίκιο.
Εγω δεν κατάλαβα.
Θα δώσω ένα ακόμη παράδειγμα που είναι σε άλλη φιλοσοφία.


οπου το
μπορούμε να το διαλέξουμε έτσι ώστε η
να έχει στο όσες ρίζες θέλουμε.