Κλασική με δεύτερες σκέψεις

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{a+x}+\sqrt{b-x}$ , 0<a<b

α) Μελετήστε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

β) Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{-a}^{b}f(x)dx$ , στην περίπτωση που : a=1 , b=8

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 22, 2023 11:19 am
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{a+x}+\sqrt{b-x}$

α) Μελετήστε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

β) Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{-a}^{b}f(x)dx$ , στην περίπτωση που : .

α) $\displaystyle {D_f} = [ - a,b]$ και $\displaystyle f'(x) = \frac{{\sqrt {b - x} - \sqrt {a + x} }}{{2\sqrt {b - x} \cdot \sqrt {a + x} }}, - a < x < b.$

Από το πρόσημο του αριθμητή, εύκολα βρίσκουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[ { - a,\frac{{b - a}}{2}} \right]$ και γνησίως

φθίνουσα στο $\displaystyle \left[ {\frac{{b - a}}{2},b} \right].$ Στο $x_0=\dfrac{b-a}{2}$ έχουμε ολικό μέγιστο ίσο με $\displaystyle 2\sqrt {\frac{{a + b}}{2}}.$ Έχουμε ακόμα ολικό

ελάχιστο $\sqrt{a+b},$ στα άκρα του πεδίου ορισμού

και

: Κλασική με...png (9.52 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

β) $\displaystyle \int_{ - 1}^8 {f(x)dx = \frac{2}{3}\left[ {\sqrt {{{(1 + x)}^3}} - \sqrt {{{(8 - x)}^3}} } \right]} _{ - 1}^8 = 36$

#3

Καλησπέρα σε όλους. Δεν ξέρω ποιες είναι οι "δεύτερες σκέψεις" του Θανάση .

Ας κάνουμε τρίτες και τέταρτες σκέψεις στο θέμα, στην εύρεση του μεγίστου της συνάρτησης.

1η λύση, ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ

Έστω $\displaystyle k = \sqrt {a + x} ,\;l = \sqrt {b - x} ,\;\;m = 1,\;n = 1$ , για $\displaystyle x \in \left[ {a,b} \right]$

Τότε $\displaystyle {\left( {km + \ln } \right)^2} = {\left( {\sqrt {a + x} + \sqrt {b - x} } \right)^2} = {f^2}\left( x \right)$
και $\displaystyle \left( {{k^2} + {l^2}} \right)\left( {{m^2} + {n^2}} \right) = 2\left( {a + x + b - x} \right) = 2\left( {a + b} \right)$

Από ανισότητα C-S

είναι $\displaystyle {f^2}\left( x \right) \le 2\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \le \sqrt {2\left( {a + b} \right)}$ , αφού f(x) >0

για κάθε $\displaystyle x \in \left[ {a,b} \right]$ .

To «ίσον» επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle kn = lm \Leftrightarrow \sqrt {a + x} = \sqrt {b - x} \Leftrightarrow x = \frac{{b - a}}{2}$

2η λύση, ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Θεωρήματος Fermat

Για $\displaystyle x \in \left[ {a,b} \right]$ παίρνουμε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {y_1} = \sqrt {x + a} \;\;\;\;:\;{C_1}\\ {y_1} = - \sqrt {b - x} \;\;:\;{C_2} \end{array} \right.$

Πήραμε, δηλαδή, τον θετικό κλάδο της παραβολής $\displaystyle y^2=x+a$ και τον αρνητικό κλάδο της $\displaystyle y^2=b-x$ στο διάστημα [a,b]

.

: 22-04-2023 Ανάλυση.png (15.53 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

Η κατακόρυφη ευθεία $\displaystyle x = {x_0},\;\;{x_0} \in \left[ {a,b} \right]$ τέμνει τους κλάδους C_1 , C_2

αντίστοιχα στα σημεία M,N

.

Το μήκος του

παριστάνει το άθροισμα των απολύτων των τεταγμένων των κλάδων της παραβολής, δηλαδή το άθροισμα

$\displaystyle \sqrt {a + x} + \sqrt {b - x}$ , με $\displaystyle x \in \left[ {a,b} \right]$ .

Ουσιαστικά πρόκειται για μια εφαρμογή της γεωμετρικής ερμηνείας του Θεωρήματος του Fermat για το άθροισμα των συναρτήσεων
$\displaystyle {f_1}\left( x \right) = \sqrt {a + x} \;\;\;\kappa \alpha \iota \;\;\;{f_2}\left( x \right) = - \sqrt {b - x} \;\;\;x \in \left[ {a,b} \right].$

Εφόσον η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = {f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)$ παρουσιάζει μέγιστο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο (a,b)

, θα είναι $\displaystyle f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow {f'_1}\left( {{x_0}} \right) = {f'_2}\left( {{x_0}} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt {x + a} }} = \frac{1}{{2\sqrt {b - x} }} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{b - a}}{2}$

Κλασική με δεύτερες σκέψεις

Κλασική με δεύτερες σκέψεις

Re: Κλασική με δεύτερες σκέψεις

Re: Κλασική με δεύτερες σκέψεις

Μέλη σε σύνδεση