Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2023 10:25 pm
Μια συνάρτηση $f\,\,$ είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα: $\left[ 1,\,\,+\infty \right)$ , παραγωγίσιμη

στο $\left( 1,\,\,+\infty \right)$ και ισχύουν: $f\left( 1 \right)=0$ και $\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός $\,\,\xi >1$ με $\,\,{f}'\left( \xi \right)=0$ .

Αν $\displaystyle{f(x)=0, \ \ \forall x \in [1,+\infty)}$ ,

το ζητούμενο είναι άμεσο αφού $\displaystyle{f'(x)=0, \ \ \forall x \in (1,+\infty)}$

Αν υπάρχει $\displaystyle{x_0}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_0)> 0}$ ,

τότε για τη συνεχή στο $\displaystyle{[1,+\infty)}$ συνάρτηση $\displaystyle{g: \ \ g(x)=2f(x)-f(x_0)}$ ισχύουν:

$\displaystyle{g(1)=-f(x_0)<0, \ \ g(x_0)=f(x_0)>0}$ και εφόσον $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}{g(x)}=-f(x_0)<0}$ θα υπάρχει $\displaystyle{x_1}$ κοντά στο $\displaystyle{+\infty}$ ,

οπότε μπορούμε να επιλέξουμε $\displaystyle{x_1>x_0}$ , τέτοιο ώστε: $\displaystyle{g(x_1)<0}$

Από το Θεώρημα του Bolzano η $\displaystyle{g}$ έχει δύο ρίζες, μία στο $\displaystyle{(1,x_0)}$ και μία στο $\displaystyle{(x_0, x_1)}$

Από το Θεώρημα Rolle η $\displaystyle{g' }$ , μεταξύ των ριζών της $\displaystyle{g}$ , θα έχει μία ρίζα.

Δηλαδή θα υπάρχει $\displaystyle{\xi}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{g'(\xi)=0\Leftrightarrow f'(\xi)=0}$

Αν υπάρχει $\displaystyle{x_0}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_0)< 0}$ ,

ομοίως...

#3

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2023 10:25 pm
Μια συνάρτηση $f\,\,$ είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα: $\left[ 1,\,\,+\infty \right)$ , παραγωγίσιμη

στο $\left( 1,\,\,+\infty \right)$ και ισχύουν: $f\left( 1 \right)=0$ και $\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός $\,\,\xi >1$ με $\,\,{f}'\left( \xi \right)=0$ .

Ορίζουμε $g:[0,\, 1] \longrightarrow \mathbb R$ ως $\, \, \, \,\, g(x)= \left\{\begin{matrix} f\left ( \dfrac {1}{x} \right ),& \, \alpha \nu \, &0<x\le 1 &\\ 0, \ & \, \alpha \nu & \,x= 0 \end{matrix}\right.$

H

είναι συνεχής στο $[0,\, 1]$ και παραγωγίσιμη στο $(0,\,1)$ (άμεσο) με g(0)=g(1)=0

. Από Rolle υπάρχει $\theta \in (0,\, 1)$ με $g'(\theta)=0$ . Άρα

$-\dfrac {1}{\theta ^2} f ' \left ( \dfrac {1}{\theta} \right ) =0$ , από όπου $f ' \left ( \dfrac {1}{\theta} \right ) =0$ .

Παίρνουμε τώρα $\xi = \dfrac {1}{\theta}$ , που μας κάνει την δουλειά.

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

#5

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2023 10:25 pm
Μια συνάρτηση $f\,\,$ είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα: $\left[ 1,\,\,+\infty \right)$ , παραγωγίσιμη

στο $\left( 1,\,\,+\infty \right)$ και ισχύουν: $f\left( 1 \right)=0$ και $\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός $\,\,\xi >1$ με $\,\,{f}'\left( \xi \right)=0$ .

Mία λύση εκτός φακέλου (αλλά η οποία μπορεί να προσαρμοστεί να γίνει εντός φακέλου).

Δεν μπορεί για κάθε $x\in (1, \, \infty)$ να ισχύει f'(x) >0

γιατί τότε η

θα ήταν γνήσια αύξουσα οπότε θα είχαμε

$0= \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) > f(1) =0$ , άτοπο.

Όμοια δεν μπορεί για κάθε $x\in (1, \, \infty)$ να ισχύει f'(x) <0

. Άρα υπάρχουν a, b

με $f'(a) <0, \, f'(b) >0$ . Από Darboux, κάπου στο ενδιάμεσο θα μηδενίζεται η

, όπως θέλαμε.

#6

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2023 10:25 pm
Μια συνάρτηση $f\,\,$ είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα: $\left[ 1,\,\,+\infty \right)$ , παραγωγίσιμη

στο $\left( 1,\,\,+\infty \right)$ και ισχύουν: $f\left( 1 \right)=0$ και $\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός $\,\,\xi >1$ με $\,\,{f}'\left( \xi \right)=0$ .

Αλλιώς: Αν

σταθερά

, τελειώσαμε. Χωρίς βλάβη, λοιπόν, υπάρχει x_0 >1

με

. Έστω

οποιοδήποτε με 0<c< f(x_0)

.

Από ΘΕΤ υπάρχει

με

. Επίσης, επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0 < c< f(x_0)$ υπάρχει x_1>x_0

με

. Συνεπώς από ΘEΤ υπάρχει $b\in (x_0, \, x_1)$ με f(b)=c

.

Tέλος, αφού f(a)=f(b)

, από Rolle υπάρχει $\xi \in (a,\, b)$ με $f'(\xi)=0$ , όπως θέλαμε.
.

Dimessi · #7

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2023 10:25 pm
Μια συνάρτηση $f\,\,$ είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα: $\left[ 1,\,\,+\infty \right)$ , παραγωγίσιμη

στο $\left( 1,\,\,+\infty \right)$ και ισχύουν: $f\left( 1 \right)=0$ και $\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός $\,\,\xi >1$ με $\,\,{f}'\left( \xi \right)=0$ .

Καλημέρα. Να το πω κάπως πιο απλά. Έστω ότι $f{'}\left ( x \right )\neq 0,\forall x\in \left ( 1,+\infty \right )$ . Τότε, από τις συνέπειες του Θ. Darboux, η f{'}

διατηρεί πρόσημο στο $\left ( 1,+\infty \right )$ και αφού η

είναι συνεχής στο $\left [ 1,+\infty \right )$ , η

είναι γνησίως μονότονη στο $\left [ 1,+\infty \right ).$ Αφού η

είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο $\left [ 1,+\infty \right )$ , έπεται ότι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f\left ( x \right )\neq f\left ( 1 \right )$ , άτοπο.
Άρα, υπάρχει $\xi > 1$ , τέτοιο ώστε $f{'}\left ( \xi \right )=0.$

#8

Dimessi έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 17, 2023 9:59 am
Καλημέρα. Να το πω κάπως πιο απλά...

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Αν δεις το ποστ #

παραπάνω, θα διαπιστώσεις ότι η εκεί απόδειξη είναι ίδια με αυτήν που γράφεις.

Dimessi · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 17, 2023 10:07 am

Dimessi έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 17, 2023 9:59 am
Καλημέρα. Να το πω κάπως πιο απλά...
Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Αν δεις το ποστ # παραπάνω, θα διαπιστώσεις ότι η εκεί απόδειξη είναι ίδια με αυτήν που γράφεις.

Καλώς σας βρήκα.

Σωστά. Δεν διαφέρουν, αλλά το ποστ 5 δεν αναφέρει (γιατί θεωρεί ότι βγάζει μάτι, που όντως έτσι είναι, αλλά για Γ λυκείου πρέπει να γίνει αναφορά) την συνέχεια της

στο $\left [ 1,+\infty \right )$ . Αν θέλετε, μπορώ να την σβήσω.

#10

Dimessi έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 17, 2023 11:46 am
Καλώς σας βρήκα. Σωστά. Δεν διαφέρουν, αλλά το ποστ 5 δεν αναφέρει (γιατί θεωρεί ότι βγάζει μάτι, που όντως έτσι είναι, αλλά για Γ λυκείου πρέπει να γίνει αναφορά) την συνέχεια της στο $\left [ 1,+\infty \right )$ . Αν θέλετε, μπορώ να την σβήσω.

.
Δεν υπάρχει λόγος να σβήσεις το ποστ. Ίσα ίσα είναι χαρά μας να βλέπουμε ένα νέο μέλος να ασχολείται δυναμικά με τα τρέχοντα θέματα του φόρουμ.

Ας προσθέσω ότι στο ποστ μου δεν ανέφερα ότι η συνάρτηση είναι συνεχής επειδή είναι αυτονόητο. Επίσης, σημείωαα ότι η λύση μου είναι εκτός φακέλου, δηλαδή απευθύνεται στους συναδέλφους, που δεν έχουν ανάγκη της ρητής μνείας της συνέχειας. Παράλειψη μου, πάντως, και σωστά το επισημαίνεις.

#11

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2023 10:25 pm
Μια συνάρτηση $f\,\,$ είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα: $\left[ 1,\,\,+\infty \right)$ , παραγωγίσιμη

στο $\left( 1,\,\,+\infty \right)$ και ισχύουν: $f\left( 1 \right)=0$ και $\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός $\,\,\xi >1$ με $\,\,{f}'\left( \xi \right)=0$ .

Άλλη μία λύση: Αν

η μηδενική συνάρτηση, τελειώσαμε. Αλλιώς, χωρίς βλάβη στην γενικότητα, η

λαμβάνει κάποια θετική τιμή, έστω f(c)>0

. Εξετάζουμε τώρα την

σε διάστημα της μορφής $[1,\,a]$ , όπου $a\ge c$ .

Ξέρουμε από θεώρημα ότι η

έχει ολικό μέγιστο στο $[1,\,a]$ . Ισχυρίζομαι ότι αν για κάθε $a\ge c$ η

είχε το ολικό της μέγιστο στο δεξί άκρο του διαστήματος $[1,\, a]$ , τότε η συνάρτηση θα είναι αύξουσα. Πράγματι, έστω $c\le a <b$ . Tότε

$f(a) = \max \{ f(x) : 1\le x \le a\} \le \max \{ f(x) : 1\le x \le b \} = f(b)$ , όπως θέλαμε.

Αλλά αυτό είναι άτοπο γιατί τότε για κάθε $a\ge c$ θα είχαμε $f(a)\ge f(c) >0$ , και άρα δεν θα ίσχυε $\,\,\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( a \right)=0$ .

Συμπέρασμα: Υπάρχει $a\ge c$ τέτοιο ώστε η

έχει ολικό μέγιστο σε εσωτερικό σημείο του $[1, \, a]$ και άρα η παράγωγος

μηδενίζεται σε αυτό το σημείο, όπως θέλαμε να δείξουμε.

Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση