Γνησίως μονότονη (2)

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

BAGGP93 · #2

Η $f^{-1}$ ορίζεται ως συνάρτηση από το $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ στο $\mathbb{R}$ διότι η

είναι 1-1.

Η εξίσωση $f(x)=f^{-1}(x)$ έχει σύνολο ορισμού το $\mathbb{R}$ και για κάθε $x\in\mathbb{R}$ έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned}f(x)=f^{-1}(x)&\iff f(f(x))=x\\&\iff x^9-3\,x^6+3\,x^3-2=x\\&\iff x^9-3\,x^6+3\,x^3-x-2=0\\&\iff [(x^3)^3-3\,(x^3)^2+3\,x^3-1]-(x+1)=0\\&\iff (x^3-1)^3-(x+1)=0 \end{aligned}}$

και τώρα η τελευταία με μελέτη μπορεί να αποδειχθεί η μοναδικότητα της ρίζας. Συντεταγμένες δύσκολο να πούμε ακριβώς.

abgd · #3

orestisgotsis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 23, 2023 6:00 pm
Μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ είναι γνησίως μονότονη και ισχύουν: $f\left( \mathbb{R} \right)=\mathbb{R}$ και

$f\left( f(x) \right)={{x}^{9}}-3{{x}^{6}}+3{{x}^{3}}-2$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να αποδείξετε ότι οι γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων και ${{f}^{-1}}$ έχουν ένα μοναδικό κοινό σημείο.

Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου αυτού;

Είναι $\displaystyle{f(x)=x^3-1, \ \ x\in \mathbb{R}}$

Διαφορετικά θα υπάρχει $\displaystyle{ x\in \mathbb{R}: f(x)\ne x^3-1}$ . Όμως η συνάρτηση είναι $\displaystyle{1-1}$ οπότε

$\displaystyle{ f\left(f(x)\right)) \ne f\left(x^3-1\right)\Rightarrow}$ $\displaystyle{ f\left(f(x)\right))\ne \left(x^3-1\right)^3-1}$ άτοπο.

Έτσι το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την εύρεση των σημείων τομής της $\displaystyle{ C_f}$ και της $\displaystyle{y=x}$ , αφού η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Δηλαδή με την επίλυση της εξίσωσης $\displaystyle{ x^3-x-1=0}$

Γνησίως μονότονη (2)

Γνησίως μονότονη (2)

Re: Γνησίως μονότονη (2)

Re: Γνησίως μονότονη (2)

Μέλη σε σύνδεση