Άσκηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

R BORIS: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 2395; Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am; Επικοινωνία:
Επικοινωνία R BORIS

Ιστοσελίδα

Άσκηση

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Δεκ 30, 2023 10:00 am

Από το fb
AN $\displaystyle{f 1-1}$ kαι δυο φορές παραγωγισιμη που ικανοποιεί την σχέση
$\displaystyle{ f^{-1}(x)+f(x)= 2x}$ τότε να δείξετε οτι
$\displaystyle{0<f^{-1}(1)-f^{-1}(0)<2}$
παρατήρηση Στην λύση που ακολουθεί δεν χρειάστηκε η δισπαραγωγισιμότητα αλλα αρκούσε η ύπαρξη συνεχούς 1ης παραγώγου.
Λύση
Για ευκολία Θετω $\displaystyle{g=f^{-1}}$ kai έχω
$\displaystyle{f+g=2x}$ [1]ακόμη $\displaystyle{f(g)=x,g(f)=x}$ [2] άρα $\displaystyle{g'f'(g)=1,f'g'(f)=1}$ οπότε $\displaystyle{ f'\ne 0,g'\ne 0}$ συνεπώς $\displaystyle{f',g'}$ διατηρούν πρόσημο δηλαδή $\displaystyle{f,g}$ γνήσια μονότονες
Αν έχουν διαφορετική μονοτονία είναι γνωστό οτι $\displaystyle{f(g),g(f)}$ γνήσια φθίνουσες άτοπο από [2] αφού η
$\displaystyle{x}$ είναι αύξουσα
Αν έχουν ιδιο είδος μονοτονίας από την [1] προκύπτει οτι και οι δύο είναι γνήσια αύξουσες
έτσι θέλουμε
$\displaystyle{g(1)-g(0)>0}$ που ισχύει από την μονοτονία της $\displaystyle{g}$ kai $\displaystyle{g(1)-g(0)=2-f(1)+f(0)<2}$ η $\displaystyle{f(1)>f(0)}$ που ισχύει από την μονοτονία της $\displaystyle{f}$

Λέξεις Κλειδιά:

άσκηση

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης