Με απλά υλικά (40)

#1

Έστω $\displaystyle f(x)=\ln x$ με $\displaystyle x\in (0,e)$ . Θεωρούμε την εφαπτομένη $\displaystyle (\varepsilon )$ σε τυχαίο σημείο $\displaystyle M$ της γραφικής παράστασης.
Η $\displaystyle (\varepsilon )$ τέμνει τους άξονες $\displaystyle {x}'x,{y}'y$ στα σημεία $\displaystyle A,B$ , αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle OAB$ είναι $\displaystyle E(x) = \frac{1}{2}x{(1 - \ln x)^2},\,\,\,\,\,\,x \in (0,e)$
β) Να βρείτε τη θέση του $\displaystyle M$ η οποία μεγιστοποιεί το εμβαδόν.
γ) Να μελετήσετε την $\displaystyle E$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
δ) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle x{{(1-\ln x)}^{2}}+x-2=0$

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 04, 2024 9:10 pm
Έστω $\displaystyle f(x)=\ln x$ με $\displaystyle x\in (0,e)$ . Θεωρούμε την εφαπτομένη $\displaystyle (\varepsilon )$ σε τυχαίο σημείο $\displaystyle M$ της γραφικής παράστασης.
Η $\displaystyle (\varepsilon )$ τέμνει τους άξονες $\displaystyle {x}'x,{y}'y$ στα σημεία $\displaystyle A,B$ , αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle OAB$ είναι $\displaystyle E(x) = \frac{1}{2}x{(1 - \ln x)^2},\,\,\,\,\,\,x \in (0,e)$
β) Να βρείτε τη θέση του $\displaystyle M$ η οποία μεγιστοποιεί το εμβαδόν.
γ) Να μελετήσετε την $\displaystyle E$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
δ) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle x{{(1-\ln x)}^{2}}+x-2=0$

(α) Έστω $\mathrm{M}(x_0, \ln x_0)$ το τυχαίο σημείο $\mathrm{M}$ . Η εξίσωση της εφαπτόμενης στο $\mathrm{M}$ είναι:

$\displaystyle{\left ( \varepsilon \right ): y - \ln x_0 = \frac{1}{x_0} \left ( x - x_0 \right ) \Leftrightarrow y = \frac{x}{x_0} + \ln x_0 -1}$
η οποία τέμνει τον άξονα x'x

στο $\mathrm{A}(x_0 (1 - \ln x_0), 0)$ και τον άξονα y'y

στο $\mathrm{B}(0, \ln x_0 -1)$ . Είναι $\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \left ( 1 -\ln x_0, 0 \right )$ και $\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \left ( 0, \ln x_0 -1\right )$ . Άρα,

$\displaystyle{\begin{aligned} \left ( \mathrm{OAB} \right )&= \frac{1}{2} \left | \det \left ( \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \right ) \right | \\ &= \frac{1}{2} | \begin{vmatrix} x_0 \left (1 - \ln x_0 \right ) & 0\\ 0 & \ln x_0 - 1 \end{vmatrix} | \\ &= \frac{1}{2} x_0 \left | 1 - \ln x_0 \right |^2 \end{aligned}}$
και το ζητούμενο εδείχθη.

(β) Θεωρούμε τη συνάρτηση $\mathrm{E}(x) = \frac{1}{2} x \left ( 1 - \ln x \right )^2 \; , \; x \in (0, e)$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο $\mathrm{E}'(x) = \frac{1}{2} \left ( \ln^2 x - 1 \right )$ . Είναι:

$\displaystyle{\mathrm{E}'(x) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \left ( \ln^2 x - 1 \right ) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left ( 0, \frac{1}{e} \right ]}$
Άρα, η $\mathrm{E}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0, \frac{1}{e} \right ]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\left [ \frac{1}{e}, e \right )$ . Συνεπώς, παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο $\xi= \frac{1}{e}$ ίσο με $\mathrm{E} \left ( \frac{1}{e} \right ) = \frac{2}{e}$ . Άρα, το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο όταν $x_0= \frac{1}{e}$ .

(γ) Η $\mathrm{E}$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο εν λόγω διάστημα με $\mathrm{E}''(x) = \frac{\ln x}{x}$ . Είναι $\mathrm{E}''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 1 \leq x < e$ . Συνεπώς, η $\mathrm{E}$ είναι κυρτή στο [1, e)

και κοίλη στο (0, 1]

και παρουσιάζει σημείο καμπής στο $\xi=1$ ίσο με $\mathrm{E}(1) = \frac{1}{2}$ .

(δ) Η εξίσωση παίρνει τη μορφή

$\displaystyle{\begin{aligned} x \left ( 1 - \ln x \right )^2 +x - 2 =0 & \Leftrightarrow \frac{1}{2} x \left ( 1 - \ln x \right )^2 + \frac{x}{2} - 1 =0 \\ &\Leftrightarrow \mathrm{E}(x) = 1 - \frac{x}{2} \end{aligned}}$
Παρατηρούμε όμως ότι η ευθεία $1- \frac{x}{2}$ είναι η εφαπτόμενη της $\mathrm{E}$ στο σημείο $\mathrm{M} \left( 1, \mathrm{E}(1) \right)$ και επειδή στο σημείο $\mathrm{M}$ αλλάζει η κυρτότητα, αυτό σημαίνει ότι η εφαπτόμενη διαπερνά τη γραφική παράσταση της

. Συνεπώς, μοναδική ρίζα της εξίσωσης είναι το x=1

.

Με απλά υλικά (40)

Με απλά υλικά (40)

Re: Με απλά υλικά (40)

Μέλη σε σύνδεση