ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

#1

Καλησπέρα

άρχισαν πάλι να κυκλοφορούν....τα δύσκολα θεωρητικά θέματα προς τους υποψηφίους...
ένα από αυτά που σίγουρα θα έχει συζητηθεί και εδώ και το δημοσιεύω για την μαθηματικά του αξία...

Έστω συνάρτηση $f:R\to R$ παραγωγίσιμη με $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=2022$ .

Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της

δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#2

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Πέμ Μαρ 31, 2022 12:29 am Έστω συνάρτηση $f:R\to R$ παραγωγίσιμη με $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=2022$ .

Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$

Αφού $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=2022$ σημαίνει ότι υπάρχει

τέτοιο ώστε για κάθε $t\ge a$ ισχύει $f'(t) \ge 1$ .

Για κάθε x>a

υπάρχει από το Θ.Μ.Τ. ένα $\xi \in (a,\,x)$ με $f(x) = f(a) + f'(\xi )(x-a) \ge f(a)+1(x-a)$ .

Παίρνοντας όριο στο $x \to +\infty$ έπεται $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}\left( x \right)=+\infty}$ , από όπου το ζητούμενο.

Christos.N · #3

έστω ότι υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ η ευθεία $y=l,l\in\mathb{R^*}$ , τότε $\underset{x\to+\infty}{lim} f(x)=l$

Είναι $\underset{x\to+\infty}{lim} f(x)=\underset{x\to+\infty}{lim} \frac{xf(x)}{x}\overset{\frac{\infty}{\infty}}{=} \underset{x\to+\infty} {lim}(f(x)+xf'(x))=+\infty$

άτοπο.

Αν πάλι η οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ η ευθεία y=0

, τότε $\underset{x\to+\infty}{lim} f(x)=0$

Είναι $\underset{x\to+\infty}{lim} f(x)=\underset{x\to+\infty}{lim} \frac{e^{-x}f(x)}{e^{-x}}\overset{\frac{0}{0}}{=} \underset{x\to+\infty} {lim}(f(x)-f'(x))=-2022$

άτοπο

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Μία μικρή παρατήρηση με αφορμή την ωραία λύση του Χρήστου: Μπορούμε να ενοποιήσουμε τις δύο περιπτώσεις, δηλαδή τις $l\ne 0$ και l=0,

σε μία.

Αν λοιπόν $\underset{x\to+\infty}{\lim} f(x)=l\in \mathbb R$ , εξετάζοντας την f(x) +c

στην θέση της f(x)

(όπου

σταθερά της επιλογής μας) μπορούμε να υποθέσουμε ότι l>0

. Υπόψη ότι η παράγωγος της

και της

είναι ίδιες. Είναι τότε (αντιγράφω)

$\underset{x\to+\infty}{\lim} f(x)=\underset{x\to+\infty}{\lim} \frac{xf(x)}{x}\overset{\frac{\infty}{\infty}}{=} \underset{x\to+\infty} {\lim}(f(x)+xf'(x))=+\infty$ . Άτοπο.

Christos.N · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Μαρ 31, 2022 2:50 pm Μία μικρή παρατήρηση με αφορμή την ωραία λύση του Χρήστου: Μπορούμε να ενοποιήσουμε τις δύο περιπτώσεις, δηλαδή τις $l\ne 0$ και σε μία.

Αν λοιπόν $\underset{x\to+\infty}{\lim} f(x)=l\in \mathbb R$ , εξετάζοντας την στην θέση της (όπου σταθερά της επιλογής μας) μπορούμε να υποθέσουμε ότι . Υπόψη ότι η παράγωγος της και της είναι ίδιες. Είναι τότε (αντιγράφω)

$\underset{x\to+\infty}{\lim} f(x)=\underset{x\to+\infty}{\lim} \frac{xf(x)}{x}\overset{\frac{\infty}{\infty}}{=} \underset{x\to+\infty} {\lim}(f(x)+xf'(x))=+\infty$ . Άτοπο.

διδακτικός.....

Και αυτό το

ας είναι το |l|+1

.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Μαρ 31, 2022 2:50 pm Μία μικρή παρατήρηση με αφορμή την ωραία λύση του Χρήστου: Μπορούμε να ενοποιήσουμε τις δύο περιπτώσεις, δηλαδή τις $l\ne 0$ και σε μία.

Αν λοιπόν $\underset{x\to+\infty}{\lim} f(x)=l\in \mathbb R$ , εξετάζοντας την στην θέση της (όπου σταθερά της επιλογής μας) μπορούμε να υποθέσουμε ότι . Υπόψη ότι η παράγωγος της και της είναι ίδιες. .............................

Μιχάλη, αν και πέρασαν πάνω από 10 χρόνια , αυτό σου το τέχνασμα το θυμάμαι ακόμα.Τόσο πολύ μου είχε αρέσει !!!

Καλό μήνα !!!

#7

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Παρ Απρ 01, 2022 10:24 pm ... αν και πέρασαν πάνω από 10 χρόνια ...

Μπάμπη, όχι μόνο πέρασαν αλλά πέρασαν τόσο γρήγορα...

Καλό μήνα και από εμένα.

#8

Δείτε και εδώ: viewtopic.php?f=61&t=1797&p=10418#p10418

#9

Ας δούμε, για να υπάρχει, μία παραλλαγή της λύσης.

Εστω $\underset{x\to+\infty}{\lim} f(x)=l\in \mathbb R$ . Τότε

$0+1= \underset{x\to+\infty}{\lim} \left ( \dfrac {f(x)}{x} + 1\right )=\underset{x\to+\infty}{\lim} \dfrac{f(x)+x}{x}\overset{\frac{\infty}{\infty}}{=} \underset{x\to+\infty} {\lim} \dfrac {f'(x)+1}{1}=2022+1 =2023$ . Άτοπο.

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Re: ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Re: ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Re: ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Re: ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Re: ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Re: ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Re: ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Re: ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Μέλη σε σύνδεση