Μεγαλύτερο αλλά όχι πάντα

KARKAR · #1

Να λυθεί η ανίσωση : $6^x+3^x \geq x^2-2^x$

#2

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=6^x+3^x+2^x-x^2}$ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε, επειδή η ανίσωση γράφεται $\displaystyle{f(x)\geq f(-1)}$ , οι λύσεις της είναι οι αριθμοί του διαστήματος $\displaystyle{[-1, +\infty ).}$

Πράγματι, είναι $\displaystyle{f'(x)=6^x \ln 3+3^x \ln 3+2^x \ln 2-2x>6^x+3^x-2x=3^x(2^x+1)-2x>3^x-2x>e^x-2x>0.}$

Η τελευταία ανίσωση ισχύει επειδή η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=e^x-2x}$ έχει προφανώς ολικό ελάχιστο στο $\displaystyle{\ln 2}$ και είναι

$\displaystyle{g(\ln 2)=2-2\ln 2=2(1-\ln 2)>0.}$

Μεγαλύτερο αλλά όχι πάντα

Μεγαλύτερο αλλά όχι πάντα

Re: Μεγαλύτερο αλλά όχι πάντα

Μέλη σε σύνδεση