ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

nikoszan · #1

Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και κυρτή ν.δ.ο.
$\displaystyle{3\int_1^2 {f\left( x \right)dx < } \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + 2f\left( 2 \right)}$
N.Z.

hsiodos · #2

nikoszan έγραψε:Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και κυρτή ν.δ.ο.
$\displaystyle{3\int_1^2 {f\left( x \right)dx < } \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + 2f\left( 2 \right)}$
N.Z.

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{F(x) = \frac{1}{4}\int_0^{2\left( {x - 1} \right)} {f(t)dt} - \int_1^x {f(t)dt} + \frac{{f(2)}}{2}(x - 1)}$ , $\displaystyle{x \in R}$ .

Η $\displaystyle{F}$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle{{F{'}}(x) = \frac{1}{2}f\left( {2\left( {x - 1} \right)} \right) - f(x) + \frac{{f(2)}}{2}\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,{F{''}}(x) = {f{'}}\left( {2\left( {x - 1} \right)} \right) - {f{'}}(x)\,\,\,\,\forall x \in R}$ .

Είναι:

$\displaystyle{ \bullet \,\,\,{F{''}}(2) = 0\,}$

$\displaystyle{ \bullet \,\,\,\,\alpha \nu \,\,\,x > 2 \Rightarrow 2\left( {x - 1} \right) > x\mathop \Rightarrow \limits^{{f{'}}\,\,\gamma \nu \,\, \uparrow } {f{'}}\left( {2\left( {x - 1} \right)} \right) > {f{'}}(x) \Rightarrow {F{''}}(x) > 0}$

$\displaystyle{ \bullet \,\,\,\,\alpha \nu \,\,\,x < 2 \Rightarrow 2\left( {x - 1} \right) < x\mathop \Rightarrow \limits^{{f{'}}\,\,\gamma \nu \,\, \uparrow } {f{'}}\left( {2\left( {x - 1} \right)} \right) < {f{'}}(x) \Rightarrow {F{''}}(x) < 0}$

Άρα στο $\displaystyle{{x_o} = 2}$ η $\displaystyle{{F{'}}}$ παρουσιάζει ελάχιστο το $\displaystyle{{F{'}}(2) = 0}$ και συνεπώς ισχύει $\displaystyle{\,{F{'}}(x) \ge 0}$ $\displaystyle{\forall x \in R\,}$ , με την ισότητα να ισχύει μόνο αν $\displaystyle{\,x = 2}$ .

Προκύπτει ότι η $\displaystyle{F}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{R}$ , οπότε:

$\displaystyle{1 < 2 \Rightarrow \,F(1) < F(2) \Rightarrow F(2)\,\,\, > 0 \Rightarrow \frac{1}{4}\int_0^2 {f(t)dt} - \int_1^2 {f(t)dt} + \frac{{f(2)}}{2} > 0 \Rightarrow \int_0^2 {f(t)dt} - 4\int_1^2 {f(t)dt} + 2f(2) > 0}$

$\displaystyle{ \Rightarrow \int_0^1 {f(t)dt} + \int_1^2 {f(t)dt} - 4\int_1^2 {f(t)dt} + 2f(2) > 0 \Rightarrow \int_0^1 {f(t)dt} + 2f(2) > 3\int_1^2 {f(t)dt} }$ .

ΥΓ1. Νίκο είναι και περασμένη η ώρα , αλλά δεν μου χρειάστηκε η συνέχεια της $\displaystyle{{f{'}}}$ , χάνω κάπου;

ΥΓ2. Κάτι δεν πάει καλά στο τέλος της προτελευταίας γραμμής της λύσης. Ενώ είναι γραμμένο και στην προεπισκόπηση φαίνεται , όταν πατάω υποβολή κόβεται(!;)

nikoszan · #3

ΓΙΩΡΓΟ,ΗΘΕΛΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΜΕΣΑ ΣΤΗΝ ΚΟΥΤΣΟΥΡΕΜΕΝΗ ΥΛΗ ,ΧΩΡΙΣ ΤΗΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΚΟΜΗ ΚΑΙ ΧΩΡΙΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ .
ΑΥΤΟ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΟΤΙ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΛΥΘΕΙ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ,ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΔΟΘΕΙ
Η ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ .ΑΥΤΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΛΟΓΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΣΥΝΘΗΚΗΣ.
Ν.Ζ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Η άσκηση μπορεί να λυθεί χωρίς καν να υποθέσουμε ότι υπάρχει παράγωγος.
(αν και κάθε κυρτή συνάρτηση έχει παράγωγο εκτός ενός αριθμήσιμου πλήθους σημείων)
Για τον κανονικό ορισμό της κυρτής συνάρτησης βλέπε:
https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function
Ο ορισμός του σχολικού αντιστοιχεί στην γνήσια κυρτή συνάρτηση.
Φυσικά καταλαβαίνω τους συναδέλφους που προσπαθούν να είναι
μέσα στο πνεύμα της σχολικής ύλης.
( Βλέπω την απόδειξη του Γιώργου και μένω έκπληκτος από την ευρηματικότητα του)
Εκείνο που δεν καταλαβαίνω είναι το γιατί βάζουμε απλοποιημένους ορισμούς
για να κάνουμε τα απλά δύσκολα.
(Προφανώς αναφέρομαι σε αυτούς που έχουν διαμορφώσει την σχολική ύλη)

hsiodos · #5

nikoszan έγραψε:
ΓΙΩΡΓΟ,ΗΘΕΛΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΜΕΣΑ ΣΤΗΝ ΚΟΥΤΣΟΥΡΕΜΕΝΗ ΥΛΗ ,ΧΩΡΙΣ ΤΗΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΚΟΜΗ ΚΑΙ ΧΩΡΙΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ .
ΑΥΤΟ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΟΤΙ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΛΥΘΕΙ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ,ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΔΟΘΕΙ
Η ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ .ΑΥΤΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΛΟΓΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΣΥΝΘΗΚΗΣ.
Ν.Ζ.

Γεια σου Νίκο

Γνωρίζεις πολύ καλά ότι υπάρχουν τρόποι να '' εξαφανίζουμε" την συνάρτηση ολοκλήρωμα ή τουλάχιστον την παραγώγιση της , ώστε να είμαστε μέσα στην ύλη.

Δυστυχώς η απρονοησία(για να μην χρησιμοποιήσω άλλη λέξη) κάποιων μας αναγκάζει να γινόμαστε "ταχυδακτυλουργοί" βάζοντας λαγό (την εξωβελισμένη συνάρτηση) μέσα στο καπέλο.

Η λύση που έχω δώσει παραπάνω αναμορφώνεται εύκολα χωρίς να φαίνεται πουθενά συνάρτηση ολοκλήρωμα , που όμως κρύβεται πίσω της.

Αν $\displaystyle{F(x) = \frac{1}{2}f\left( {2\left( {x - 1} \right)} \right) - f(x) + \frac{{f(2)}}{2}\,\,,\,\,x \in R\,}$ τότε όπως στην παραπάνω λύση προκύπτει $\displaystyle{\,F(x) \ge 0\,\,\,\,\,\,\forall x \in R}$ με την ισότητα να ισχύει μόνο αν $\displaystyle{x = 2}$ .

Άρα: $\displaystyle{\int_1^2 {F(x)dx} > 0 \Rightarrow \frac{1}{2}\int_1^2 {f\left( {2\left( {x - 1} \right)} \right)dx} - \int_1^2 {f(x)dx + \frac{{f(2)}}{2}} \,\, > 0\,\,\,\,(1)}$

$\displaystyle{\int_1^2 {f\left( {2\left( {x - 1} \right)} \right)dx} \mathop = \limits_{du = 2dx}^{u = 2(x - 1)} \,\,\,\,\frac{1}{2}\int_0^2 {f\left( u \right)du} \,\,(2)}$

$\displaystyle{(1)\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} \,\,\,\frac{1}{4}\int_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int_1^2 {f(x)dx + \frac{{f(2)}}{2}} > 0}$ από όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Συμπλήρωση: Άλλος ένας τρόπος για την θεώρηση της συνάρτησης $\displaystyle{F}$ είναι μέσω της ανισότητας Jensen.

nikoszan · #6

ΓΙΩΡΓΟ ΟΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ ΕΞΥΠΝΕΣ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΟΥ .ΠΟΥ ΔΕΙΧΝΟΥΝ ΤΗΝ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΟΥ ΛΥΤΗ .ΣΥΜΦΩΝΩ ΑΠΟΛΥΤΑ ΜΕ ΤΑ ΛΕΓΟΜΕΝΑ ΣΟΥ .
ΟΜΩΣ ΕΜΕΙΣ ΔΕΝ ΒΑΖΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ,ΟΠΟΤΕ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕ ΟΤΙ ΜΑΣ ΕΠΙΤΡΕΠΟΥΝ ΚΑΝΟΝΤΑΣ ΤΟΥΣ ΦΑΚΙΡΗΔΕΣ ΣΤΑ ΠΑΙΔΙΑ .
ΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΤΟ ΘΕΩΡΩ ΠΟΛΥ ΑΣΤΕΙΟ ΑΚΟΜΗ ΚΑΙ ΠΟΥ ΤΟ ΣΥΖΗΤΑΜΕ .
ΑΠΛΑ ΗΘΕΛΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΩ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΣΧΟΛΙΚΗ ΥΛΗ ΜΙΑ ΙΔΕΑ ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ Η ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ .ΙΣΩΣ ΒΑΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ ΕΠΙ ΠΛΕΟΝ ΕΡΩΤΗΜΑ
ΝΑ ΓΙΝΟΤΑΝ ΑΥΤΟ ΕΜΦΑΝΕΣ.ΘΑ ΤΟ ΠΕΡΑΣΩ Σ ΄ΕΝΑ ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΜΑ.
Ν.Ζ.

#7

nikoszan έγραψε:Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και κυρτή ν.δ.ο.
$\displaystyle{3\int_1^2 {f\left( x \right)dx < } \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + 2f\left( 2 \right)}$
N.Z.

Γεια σας. θα δώσω μία προσέγγιση που χρησιμοποιεί γεωμετρικές ιδέες με ένα εντός υλης και ένα εκτός ύλης αποτέλεσμα. Επομένως η συζήτηση, κατά βάση, δεν είναι για μαθητές αλλά για μας τους μεγάλους.
Μία κυρτή συνάρτηση έχει δύο βασικά χαρακτηριστικά:
$\bullet \,\,\,\,\,\,$ Η γραφική παράσταση βρίσκεται πάνω από τις εφαπτομένες.
$\bullet \,\,\,\,\,\,$ Η γραφική παράσταση σε ένα διάστημα βρίσκεται κάτω απο την αντίστοιχη χροδή.

Ας θεωρήσουμε μία κυρτή συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$ και a<b<c

από το $\Delta$ .
Στο [a,b]

η

βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο σημείο (b,f(b)

. Άρα για $x\in \left[ a,b\right]$ έχουμε $f(x)\geq f^{\prime }\left( b\right) \left( x-b\right) +f\left( b\right)$ και ολοκληρώνοντας στο [a,b]

βρίσκουμε
$\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx > \left( b-a\right) f\left( b\right) -f^{\prime }\left( b\right) \frac{\left( b-a\right) ^{2}}{2}\,\,\,\,(1)$
Στο [b,c]

η

βρίσκεται κάτω από την χορδή που συνδέει τα (b,f(b)

,

δηλαδή για $x\in \left[ b,c\right]$ έχουμε $f\left( x\right) \leq \frac{f\left( c\right) -f\left( b\right) }{c-b}\left( x-b\right) +f\left( b\right)$ και ολοκληρώνοντας βρίσκουμε ότι
$\int_{b}^{c}f\left( x\right) dx < \frac{f\left( b\right) +f\left( c\right) }{2}\left( c-b\right)\,\,\,\,(2)$
κάτι αναμενόμενο αφού το β΄μέλος για

θετική παριστάνει εμβαδόν τραπεζίου.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να συνδέσουμε με ανισότητες τα ολοκληρώματα που υπεισέρχονται στις (1), (2)

αποφασίζοντας τι θέλουμε να κρατήσουμε και βάζοντας ειδικές υποθέσεις.
Αν για παράδειγμα θέλουμε να απαλλαγούμε από την f'(b)

συτό μπορεί να γινει παρατηρώντας ότι $\frac{f\left( c\right) -f\left( b\right) }{c-b}=f^{\prime }\left( \xi \right) \underset{\xi \in \left( c,b\right) }{>}f^{\prime }\left( b\right)$ και επομένως από την (1)

έχουμε την:
$\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx > \left( b-a\right) f\left( b\right) -\frac{f\left( c\right) -f\left( b\right) }{c-b}\frac{\left( b-a\right) ^{2}}{2}\,\,\,(1')$
Αν επιπλέον υποθέσουμε ότι b-a=c-b=1

έχουμε:
$\int_{b}^{c}f\left( x\right) dx-\frac{f\left( c\right) }{2}< \frac{f\left( b\right) }{2}$
$3\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\frac{3f\left( c\right) }{2}> \frac{f\left( b\right) }{2}$
που μας δίνουν την
$3\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\frac{3f\left( c\right) }{2}\geq \int_{b}^{c}f\left( x\right) dx-\frac{f\left( c\right) }{2}$
δηλαδή την
$\int_{b}^{c}f\left( x\right) dx<3\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx+2f\left( c\right)$
που δίνει την αποδεικτέα για a=0, b=1, c=2

.
Μαυρογιάννης

mathematica.gr

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Μέλη σε σύνδεση