Ολοκλήρωμα Περιοδικής Συνάρτησης και Ανισότητα

#1

Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ μια συνεχής συνάρτηση με $\displaystyle{f\left( x \right) > 0}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
Αν ο αριθμός

είναι περίοδος της

, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int_0^2 {\frac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}}dx \ge 2} .}$
Πότε ισχύει η ισότητα;

#2

emouroukos έγραψε:Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ μια συνεχής συνάρτηση με $\displaystyle{f\left( x \right) > 0}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
Αν ο αριθμός είναι περίοδος της , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int_0^2 {\frac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}}dx \ge 2} .}$
Πότε ισχύει η ισότητα;

Καλησπέρα Βαγγέλη.
Ισχύει $\displaystyle{f(x + 2) = f(x),}$ για κάθε πραγματικό αριθμό

.

Έχω $\displaystyle{\int\limits_0^2 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} + \int\limits_1^2 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} }$ .

Δουλεύοντας στο δεύτερο ολοκλήρωμα κάνω την άλλαγή μεταβλητής u=x-1

απ'όπου προκύπτει:

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} + \int\limits_0^1 {\frac{{f(u + 2)}}{{f(u + 1)}}du = } \int\limits_0^1 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} + \int\limits_0^1 {\frac{{f(x + 2)}}{{f(x + 1)}}dx = \int\limits_0^1 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} } + \int\limits_0^1 {\frac{{f(x)}}{{f(x + 1)}}dx} = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}} + \frac{{f(x)}}{{f(x + 1)}}} \right]dx} }$ $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}} + \frac{{f(x)}}{{f(x + 1)}}} \right]dx} }$

Όμως $\displaystyle{\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}} + \frac{{f(x)}}{{f(x + 1)}} \ge 2,f(x) > 0}$ από όπου αν ολοκληρώσουμε στο [0,1]

έχουμε:

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}} + \frac{{f(x)}}{{f(x + 1)}}} \right]dx} \ge 2}$ όπως θέλουμε.

Η ισότητα ισχύει π.χ για τη συνάρτηση $\displaystyle{{e^{\left| {\sin (\pi x)} \right|}}}$

#3

Ουσιαστικά η ίδια και εδώ.

#4

chris_gatos έγραψε:
emouroukos έγραψε:Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ μια συνεχής συνάρτηση με $\displaystyle{f\left( x \right) > 0}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
Αν ο αριθμός είναι περίοδος της , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int_0^2 {\frac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}}dx \ge 2} .}$
Πότε ισχύει η ισότητα;
Καλησπέρα Βαγγέλη.
Ισχύει $\displaystyle{f(x + 2) = f(x),}$ για κάθε πραγματικό αριθμό .

Έχω $\displaystyle{\int\limits_0^2 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} + \int\limits_1^2 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} }$ .

Δουλεύοντας στο δεύτερο ολοκλήρωμα κάνω την άλλαγή μεταβλητής απ'όπου προκύπτει:

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} + \int\limits_0^1 {\frac{{f(u + 2)}}{{f(u + 1)}}du = } \int\limits_0^1 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} + \int\limits_0^1 {\frac{{f(x + 2)}}{{f(x + 1)}}dx = \int\limits_0^1 {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}}dx} } + \int\limits_0^1 {\frac{{f(x)}}{{f(x + 1)}}dx} = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}} + \frac{{f(x)}}{{f(x + 1)}}} \right]dx} }$ $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}} + \frac{{f(x)}}{{f(x + 1)}}} \right]dx} }$

Όμως $\displaystyle{\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}} + \frac{{f(x)}}{{f(x + 1)}} \ge 2,f(x) > 0}$ από όπου αν ολοκληρώσουμε στο έχουμε:

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{f(x + 1)}}{{f(x)}} + \frac{{f(x)}}{{f(x + 1)}}} \right]dx} \ge 2}$ όπως θέλουμε.

Πολύ ωραία Χρήστο!

chris_gatos έγραψε:Η ισότητα ισχύει π.χ για τη συνάρτηση $\displaystyle{{e^{\left| {\sin (\pi x)} \right|}}}$

Ίσως δεν το διατύπωσα όπως έπρεπε, αλλά εννοούσα να βρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη που θα πρέπει να ικανοποιεί η συνάρτηση

ώστε η αποδεικτέα σχέση να ισχύει ως ισότητα.

Ολοκλήρωμα Περιοδικής Συνάρτησης και Ανισότητα

Ολοκλήρωμα Περιοδικής Συνάρτησης και Ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα Περιοδικής Συνάρτησης και Ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα Περιοδικής Συνάρτησης και Ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα Περιοδικής Συνάρτησης και Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση