Υπό το μηδέν

KARKAR · #1

Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=2x\sqrt{x^2-1}-2x^2+1$ , παίρνει μόνον αρνητικές τιμές .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 11, 2021 6:48 pm
Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=2x\sqrt{x^2-1}-2x^2+1$ , παίρνει μόνον αρνητικές τιμές .

Πεδίο ορισμού $|x| \ge 1$ και

$\displaystyle{2x\sqrt{x^2-1}-2x^2+1= 2x\sqrt{x^2-1}-(x^2-1)-x^2= -[( x^2-1) - 2x\sqrt {x^2-1} +x^2]=}$

$\displaystyle{=-(\sqrt {x^2-1} -x)^2 \le 0}$

Όμως δεν είναι ποτέ "ίσο με

" γιατί τότε $\sqrt {x^2-1} =x$ και άρα x^2-1=x^2

, που δεν γίνεται.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 11, 2021 6:48 pm
Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=2x\sqrt{x^2-1}-2x^2+1$ , παίρνει μόνον αρνητικές τιμές .

Και αλλιώς, χάριν παιδειάς:

Αφού το π.ο. είναι $|x| \ge 1$ μπορώ να θέσω $x= \dfrac {1}{\cos \theta}$ (και ειδικά $\cos \theta \ne 0$ ). Τότε η παράσταση γίνεται

$\displaystyle{\dfrac {2 }{\cos \theta } \sqrt {\dfrac {1- \cos ^2 \theta } {\cos ^2 \theta}} - \dfrac {2}{\cos ^2 \theta }+1= \dfrac {\pm 2 \sin \theta }{\cos ^2 \theta } - \dfrac {2}{\cos ^2 \theta }+\dfrac {1-\sin ^2 \theta } {\cos ^2 \theta }= }$

$\displaystyle{= \dfrac {\pm 2 \sin \theta -1 -\sin ^2 \theta }{\cos ^2 \theta }= -\dfrac { (1\pm \sin \theta )^2} {\cos \theta} \le 0 }$

Eύκολα όμως βλέπουμε ότι δεν ισούται με

γιατί τότε $\cos \theta =0$ , που δεν γίνεται.

Υπό το μηδέν

Υπό το μηδέν

Re: Υπό το μηδέν

Re: Υπό το μηδέν

Μέλη σε σύνδεση